11072：証明...不等式...

問題11072・・・http://enjoymath2.blog.fc2.com/blog-entry-196.html より 引用 Orz〜

(2005年数学オリンピック本選問題　第3問)

解答

・わたしの…

a<=b<=c と考えてもいい…

1=a+b+c<=3c

c<=1/3

与式=a*(a+2b)^(1/3)+b*(b+2c)^(1/3)+c*(c+2a)^(1/3)

<=(3c)^(1/3)*(a+b+c)=(3c)^(1/3)<=1

^^

↑

ウソの上塗りぃ…^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのコメ Orz〜

a≦b≦cと考えるのはちょっとまずいと思います．
例えば，(a,b,c)=(1/6,1/3,1/2)の場合，
(左辺)=(1/6)(5/6)^(1/3)+(1/3)(4/3)^(1/3)+(1/2)(5/6)^(1/3)
(a,b,c)=(1/6,1/2,1/3)の場合，
(左辺)=(1/6)(7/6)^(1/3)+(1/2)(7/6)^(1/3)+(1/3)(2/3)^(1/3)
であり，この2つは同一視はできません．

(3文字を循環させても不変な式なので，
a≦b≦cとa≧b≧cを両方考えるのであれば問題ないです．)

また，a≦b≦cかつa+b+c=1であれば，c≧1/3となります．

*そうかぁ…^^;

but...何にも思い付けない…^^;;

・鍵コメT様のなるほどの武器 Orz〜

例えば次のように示せます．

y=x^3のグラフで，(1,1)における接線はy=3(x-1)+1.
このグラフから，x^3≧3(x-1)+1 (x>0)であり，t=3(x-1)とおけば，
(1+t)^(1/3)≦1+t/3 (t≧-1)が成り立つ．
a((1+b-c)^(1/3))+b((1+c-a)^(1/3))+c((1+a-b)^(1/3))
≦a(1+(b-c)/3)+b(1+(c-a)/3)+c(1+(a-b)/3)=a+b+c=1.

*オイラーさんみたいに遊ばれますね♪

[スモークマン]

＞2:33pmの鍵コメT様へ ^^
あら...そっか…^^;
結構ややこしいんだ…Orz〜
今のところ思い付かないなぁ…^^;;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v

[スモークマン]

＞5:36pmの鍵コメT様へ ^^
意味了解 ^^v
巧い手法ですねぇ☆
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v

[スモークマン]

＞6:41pmの鍵コメT様へ ^^
失礼つかまつりました Orz〜
直します ^^;v