11203：数列の5001項目...

問題11203・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36950872.html#36950872 より Orz〜

　1，2，5/2，3，10/3，11/3，4，17/4，9/2，19/4，5，26/5，27/5，28/5，29/5，6，…… は、

　ｎを自然数、ｋを 0≦k＜n である整数として、

　n＋k/n の形で表される数を小さい順に並べてできる数列です。

　この数列の第5001項の値は？　

　次に、この数列の初項から第Ｎ項までの和を S_N とすると、S₅₀₀₁ は自然数ではありません。

　N＞5001 として、S_N が自然数になる最小の自然数Ｎについて S_N＝？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36968531.html より Orz〜

　n＋k/n の形の項を第ｎ群とすれば、

　第ｎ群までの項数は 1＋2＋……＋n＝n(n＋1)/2 ですので、

　99･100/2＝4950，100･101/2＝5050 より、第5001項は第100群の第51項です。

　よって、第5001項は 100＋50/100＝100．5 です。

　第ｎ群の総和は n²＋1/n＋2/n＋……＋(n−1)/n＝n²＋(n−1)/2 になり、

　第ｎ群までの総和は n(n＋1)(2n＋1)/6＋n(n＋1)/4−n/2＝n(4n²＋9n−1)/12 ですので、

　第99群までの総和は 99(4･99²＋9･99−1)/12＝330775．5 です。

　第100群の第１項から第ｋ項までの和は

　100k＋1/100＋2/100＋3/100＋……＋(k−1)/100＝100k＋(k−1)k/200 であり、

　(k−1)k/200 の小数部分が 1/2 になるためには、

　(k−1)k が 200の倍数でない 100の倍数でなければなりません。

　51＜k＜100 でこの条件を満たすのは、k＝76 であり、

　このとき、第100群の第１項から第76項までの和は 100･76＋75･76/200＝7628．5 です。

　よって、N＝4950＋76＝5026 、S₅₀₂₆＝330775．5＋7628．5＝338404 です。

*地道に…^^;

but...放浪の旅が始まったののであります…^^;;;...

1+2+3+…+99=100*99/2=9900/2=4950
分母が100の…100,100+1/100,…,100+50/100=201/2
so...4950+51=5001番目は、201/2 (=100.5)♪
奇数番目の分数の和=2k*(2k-1)/(2*(2k-1))=k
so…
1+2+…+49
偶数番目の分数の和=2k*(2k+1)/(2*2k)=(2k+1)/2
so…
1/2+3/2+5/2+…+49/2=(1/2)(1+2+3+…+49)
もう１個1/2があればいいので…51/2
100の51番目+49個なのでS(5050)
S(5050)
=Σ(1〜100)k^2+(3/2)Σ(1~49)k+51/2
=100*101*201/6+(3/2)*25*49+51/2
=338350+3762/2
=338350+1881
=340231

k(k+1)/200=m/2
100m=k(k+1)
75*4の倍数=75*76 で…75*76/200=57/2
so…
Σ(1〜99)k^2+(3/2)Σ(1~49)k+100*76+(1/2)Σ(1〜75)k
=99*100*199/6+(3/2)*49*25+7600+57/2
=328350+7600+1866
=337816

そもそもが…

奇数番目の分数の和=2k*(2k-1)/(2*(2k-1))=k
so…
1+2+…+50=25*51=5100/4=1275
偶数番目の分数の和=2k*(2k+1)/(2*2k)=(2k+1)/2
so…
(1/2)*49+(1+2+3+…+49)
=49/2+25*49/2
=49/2+4900/4
=49/2+1225

1275+1225+99/2=2500+49/2 であることに気づきましたわ…^^;;
so…
99*100*199/6+2500+7600+49/2+57/2
=328350+2500+7600+53
=338503

奇数番目の分数の和=2k*(2k-1)/(2*(2k-1))=k
so…
1+2+…+49=25*49=4900/4=1225・・・でしたわ ^^;
偶数番目の分数の和=2k*(2k+1)/(2*2k)=(2k+1)/2
so…
(1/2)*49+(1+2+3+…+49)
=49/2+25*49/2
=49/2+4900/4
=49/2+1225

1225+1225+99/2=2450+49/2 
so…
99*100*199/6+2450+7600+49/2+57/2
=328350+2450+7600+53
=338453

めげずにチェック...で…我発見せり!!?

偶数番目の分数の和=2k*(2k+1)/(2*2k)=(2k+1)/2
so…
(1/2)(1+2+3+…+97)
=49*97/2

99*100*199/6+1225+7600+49*97/2+57/2
=328350+1225+7600+2405
=339580

微妙におかしかったか...精査した結果ですばい…
奇数番目の分数の和=2k*(2k+1)/(2*(2k+1))=k
so…
1+2+…+49=25*49=4900/4=1225
偶数番目の分数の和=2k*(2k-1)/(2*2k)=(2k-1)/2
so…
(1+2+…+49)-(1/2)*49
=25*49-49/2

so…
99*100*199/6+1225+1225+7600-49/2+57/2　　=338404  だったということでしたぁ ^^;
=328350+2450+4
=330804

*ここでさすがに...心も折れてしまったわたし…Orz

[スモークマン]

＞鍵コメ様へ ^^
👍 👍 v^^v
そっかぁ〜^^;
こだわりはみなあるもの…仕方ないかぁ ^^…v
Orz〜

[スモークマン]

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