11297：整数多項式の積で表せない...

問題11297・・・http://www5e.biglobe.ne.jp/~saionjiS/homepage/mihon22.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

(x^a+…+p(a))(x^b+…+p(b))…(x^z+…+p(z))

の定数項=p(a)*p(b)*…*p(z)=(n!)^2+1

(n!)^2<(n!)^2+1<n!*(n!+1)

n!=α

α^2<α^2+1<α*(α+1)

なので…

α^2+1は2数以上の積に分解できない…

でいいのか知らん ^^

↑

臆面もないウソ…^^;…Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Ozr〜

α^2<A<α(α+1)から，Aが2以上の整数の積に分解できないとは言えません．
実際，(6!)^2+1=13*39877です．
例えば次のようにできると思います．

f(x)=g(x)h(x) (g,hは1次以上の整数係数多項式)と表せたとして，
g(x),h(x)の偶数次の項を集めたものをそれぞれG(x^2),H(x^2)とする．
g(x),h(x)はいずれも2n次に満たないから，G(x),H(x)はいずれも高々n-1次式．
ここで，k=1,2,…,nとして，f(ki)=1より，g(ki)h(ki)=1.
g(ki),h(ki)はいずれも，実部，虚部がともに整数となるから，
各kに対して(g(ki),h(ki))=(1,1),(-1,-1),(i,-i),(-i,i)のいずれかであり，
g(ki)とh(ki)の実部は一致するから，G(-k^2)=H(-k^2).
等式G(x)=H(x)は，両辺が高々n-1次式で，
n個の異なる値-1^2,-2^2,…,-n^2に対して成り立つから，恒等式．
以上よりg(0)=h(0)が得られ，f(0)=(n!)^2+1が平方数でないことに矛盾する． 

*流れるような美しい証明ね♪

[スモークマン]

＞2:37pmの鍵コメT様へ ^^
うっひょー...^^;;
なんとかトレースできましたが…このように鳩の巣を使えばいいなんて☆…すぐ思い付けましぇん ^^;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v