11361：立方体の1面の3点が格子点なら他の点もすべて格子点...

外に出掛ける気力/体力...0…^^;;

ルームサービスのメニューからチョイスするのもまた楽しからずや ^^♪

問題11361・・・http://www5e.biglobe.ne.jp/~saionjiS/homepage/mihon22.pdf

より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

C(x,y)は、(AB)+(AD)のベクトル計算で、(x,y)のx,yは整数になる…

E(z,w)は、ADを±i/√2倍したもので、AD=√2*|AB|なので、(z,w)のz,wは整数になる…

F,Hは、AB,ADを、GはAEをそれぞれ平行移動させれば、すべて整数からなる点=格子点になる。

でいいですよね…^^

・鍵コメT様からのもの Orz〜

各点はx,y,z座標をもち，複素数で処理するのは厳しいと思います．
例えば，命題は「辺長が自然数」の条件があってはじめて成立します．
(例)A(0,0,0),B(1,1,0),D(1,-1,0),E(0,0,√2)となる立方体が構成できます．

ベクトルをvec{AB}などのように表すとして，
vec{AC}=vec{AB}+vec{AD},vec{AF}=vec{AB}+vec{AE},
vec{AG}=vec{AC}+vec{AE},vec{AH}=vec{AD}+vec{AE}
が成り立つので，Eが格子点であることが示せればできあがりです．
立方体の一辺の長さをnとし，vec{AB}=(b1,b2,b3),vec{AD}=(d1,d2,d3)として，
vec{AE}=±(1/n)(b2d3-b3d2,b3d1-b1d3,b1d2-b2d1).

ここで，
(b2d3-b3d2)^2+(b2d2+b3d3)^2=(b2^2+b3^2)(d2^2+d3)^2より，
(b2d3-b3d2)^2=(b2^2+b3^2)(d2^2+d3)^2-(b2d2+b3d3)^2
=(n^2-b1^2)(n^2-d1^2)-(b2d2+b3d3)^2
=n^4-(b1^2+d1^2)n^2+(b1d1)^2-(b2d2+b3d3)^2
=n^4-(b1^2+d1^2)n^2+(b1d1+b2d2+b3d3)(b1d1-b2d2-b3d3).
b1d1+b2d2+b3d3=vec{AB}・vec{AD}=0だから，
(b2d3-b3d2)^2はn^2の倍数であり，b2d3-b3d2はnの倍数．
したがって，vec{AE}のx成分は整数．
同様に，y,z成分も整数となるから，Eは格子点である．
以上により示された．

*球面上の3点A,B,Dが格子点なら…対称性から…

すべて立方体の頂点は格子点とは言えないのか知らん…^^;…?

・鍵コメT様からのコメ Orz〜

「辺長が自然数でなく，すべての頂点が格子点である立方体があるか」
について，2つコメントします．
[1] こうした立方体があるかないかは，
『辺長が自然数』の条件を除いた命題の真偽とは関係がありません．
「3頂点A,B,Dが格子点」を大前提と見ると，命題は
「立方体の辺長が自然数ならば，すべての頂点は格子点」と言う主張です．
つまり，命題「すべての頂点は格子点ならば立方体の辺長は自然数」は，
題意の命題の逆であり，題意の命題の真偽とは独立に真偽をとります．
[2] 辺長が自然数でなく，すべての頂点が格子点の立方体は存在しません．
前のコメントで示した
vec{AE}=±(1/n)(bsd3-b3d2,b3d1-b1d3,b1d2-b2d1)において，
辺長nは√(b1^2+b2^2+b3^2)と表され，√(自然数)となるので，
これが自然数でなければ，nは無理数となります．
したがって，vec{AE}の各成分は無理数の整数倍であり，
すべてを0にはできないので，Eは格子点とはなり得ないことがわかります．

さらに，「辺長が自然数とは限らないとき，
A,B,Dが格子点であってもすべての頂点が格子点とは限らない」
ということは，
「対称性からすべて立方体の頂点は格子点」とは言えないことは明らかですね．

A,B,Dに加えて，「立方体の外接球の中心が格子点」…(*)であるなら，
当然，各頂点は格子点になります．

A(0,0,0),B(1,1,0),D(1,-1,0),E(0,0,√2)の例を考えれば，
外接球の中心は(1,0,(√2)/2)であり，(*)は不成立です．
つまり，立方体の頂点で，正方形の3頂点をなすものが格子点であっても，
他の条件がなければ，すべての頂点が格子点とは言えません．

*グラッチェでっす〜m(_ _)m〜♪

わたしゃアホなこと思ってました…^^;;...

[スモークマン]

＞10:13pmの鍵コメT様へ ^^
法線ベクトルを外積で求めるんですね ^^;
計算方法懐かしや ^^
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v

辺長が自然数でなくても、すべてが格子点になる立方体はいくらでもありそうな気がするのですが…ないのかなぁ…?...

[スモークマン]

＞2:44amの鍵コメT様へ ^^
了解です Orz〜v
これならどうでしょう？
「球面上にAB=ADで、『角A=90°』の点A,B,Dがあるとき、すべて格子点である立方体が存在する。」
は…言えないのかなぁ…?...

[スモークマン]

＞9:44pmの鍵コメT様へ ^^
A,B,Dは、ABを通る球の中心を通る大円で、また、ADの中点を通る大円で半分にされてるので，A,Dを含む半球面上には，Bに対応するの点=Eが、A,Bを含む半球面上には、Dに対応する点=Eがあるはずなので...という気がしてならない(数学的ではないですけど ^^;)わたしです…?...

[スモークマン]

＞10:14pmの鍵コメ様へ ^^
そうか…^^;
4点が決まらなければ...球も決まらないのでした…Orz…
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v