素数の逆数の和=∞…☆ (素数が無限個あることの証明…)

素数の逆数の和が発散することの証明って結構難しい…^^;

その中で，比較的わかりやすかったものを ^^

Junko先生のサイト http://www.junko-k.com/cthema/17sosuu.htm より 引用 Orz〜

＞1=nQ のところは…

1+nQ の誤植ですね ^^

*以下の部分が俄にわからず…^^;

↓

他の証明を同サイトより Orz〜

↓

＜この証明は過去の「大学への数学」に載っていました＞

このことから逆に素数が無限に存在することが言えると思います。 

もし素数が有限個しかなかったら、上の級数が発散するはずはないからです。

*どうしてこんな風に上手い方法を思い付けるんだろ？

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/457_s21.htm より 引用 Orz〜

「　Ｈn＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ

　　ζn＝１／１^s＋１／２^s＋１／３^s＋１／４^s＋・・・＋１／ｎ^s

と定義します．オイラーの無限級数和ζ∞＝Σ１／ｎ^sは，ｓの関数とみるとき，ゼータ関数ζ（ｓ）として知られており，ゼータ関数は無限調和級数Ｈ∞＝ζ（１）＝∞を一般化したものと考えることができます．

　調和級数Ｈn＝Σ（１／ｎ）は非常にゆっくりとですが大きくなり，ついには無限大に発散すること，すなわち，

　　Ｈn＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ〜ｌｏｇｎ→∞

は容易に示すことができます．

　また，素数の逆数の和

　　Ｈprime＝Σ（１／ｐ）＝１／２＋１／３＋１／５＋１／７＋１／１１＋・・・＋１／ｎ〜ｌｏｇｌｏｇｎ→∞

より，素数の逆数の和は発散することが示されます．→コラム「ハーディ・リトルウッド予想とアルティン予想」参照

　１７３７年，オイラーはこのようにして素数の逆数の和が無限大になることを見つけました．逆に，このことから素数が無限個あることは簡単にわかります．また，調和級数Σ（１／ｎ）は発散し，またオイラー級数Σ（１／ｎ^2）＝π^2／６で収束しますから，素数は平方数ほどまばらには分布していないこともわかります．」