偶数の完全数［続^2］（やどかりさんの証明）

いつもお世話になってるサイト ☆ ヤドカリの 気ままな数学 ☆ のブログ主でいらっしゃるやどかりさんから簡明な証明の別解を頂戴しましたのでご紹介させていただきまっす ^^☆

a が偶数の完全数とします。 

a は偶数なので、n を 1 以上の整数、b を奇数として、a = 2^n * b と書けます。 

ここで、正の整数 c の約数の和を s(c) で表すと、2^n と b とは互いに素なので、 

s(a) = s(2^n * b) = s(2^n) * s(b) = {2^(n+1) - 1} * s(b) 

一方で、a は完全数なので、 

s(a) = 2 * a = 2^(n+1) * b 

です。そこで、 

2^(n+1) * b = {2^(n+1) - 1} * s(b) 

までは 偶数の完全数［続］（uchinyanさんの証明） 同じですが、その後、

b = 1 のときは明らかに成り立ちませんので b > 1 に注意して、

{2^(n+1) - 1} * b + b = {2^(n+1) - 1} * s(b) 

s(b) = b + b/{2^(n+1) - 1}

ここで、s(b)，b は自然数なので、b/{2^(n+1) - 1} も自然数、

b/{2^(n+1) - 1} は b の約数なので、

s(b) は b の約数２個の和で表されていることになり、b は素数で、

b/{2^(n+1) - 1} = 1 

b = 2^(n+1) - 1 です。

*二つの約数の和で表される数=素数　ってのがシャレてますね☆

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