12055：分割比…△...辺の3等分点と頂点を結ぶ...

問題12055・・・http://blog.goo.ne.jp/skjbkt54/e/e2636da89f5265a234b07218a5959a4d

より 引用 Orz〜

図のように三角形ABCの辺ABを３等分、辺BCを２等分した点から三角形を分割しました。AG、GH、HFの長さの比を求めなさい。

解答

・わたしの...

 　　　　　　　　　奇麗な比になるんだわ♪

ちなみに…

△ADG:□DEHD:□EBFH=(4-3):(4-9/5):(4-6/5)

                                    =1:11/5:14/5

                                    =5:11:14

全体を比で表すと…

・鍵コメT様からの正統的解法 Orz〜

AB=ACを前提に解かれているようですね．・・・てっきりそうだと思い込んでましたわ ^^;
一次変換により，同一直線上の線分比を変えずに二等辺三角形にできるので，
この前提条件を付けるのも一つの方法ではありますが，
やはり正統的な解き方とは言い難いと思います．

メネラウスの定理
(AD/DB)*(BC/CF)*(FG/GA)=1,(AE/EB)*(BC/CF)*(FH/HA)=1
を用いるのが最も簡明だと思いますが，
スモークマンさんの好みには合わないようなので，使わずに解いてみます．
(ただし，はじめの平行を示す部分は，実質はチェバの定理とも言えます．)

直線BG,BHと辺ACの交点をそれぞれD',E'とする．
△ACG=(CG/CD)△ACD=(CG/CD)△BCD/2=△BCG/2，
△ABG=(AG/AF)△ABF=(AG/AF)△ACF=△ACGより，
△ABG:△BCG=1:2であり，AD':D'C=1:2=AD:DC
よって，DD'//BC．同様にして，EE'//BCを得る．
台形DBCD'の対角線の交点がG．よって，DG:GC=1:3であり，
FG=(2/3)AF*(3/4)=(1/2)AF.
台形EBCE'の対角線の交点がH．よって，EH:HC=2:3であり，
FH=(1/3)AF*(3/5)=(1/5)AF.
したがって，AG:GH:HF=5:3:2.

* AG:GH:HF=1-1/2: 1/2-1/5:1/5=1/2: 3/10:1/5=5:3:2

と出せるわけなのね ^^☆

[スモークマン]

＞1:22pmの鍵コメT様へ ^^
なるほど!!
そういう手がありましたか☆
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v