12480：自然数n…2^n>n^2...

問題12480・・・http://inupri.web.fc2.com/seisuu/kaisi.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

2^n=n^2

n=2

f(x)=2^x

g(x)=x^2

どちらも...単調増加関数なので…

交差点以降は交わらない…

n=3 のときは…

2^3=8<3^2=9

so…n=1

ね ^^

↑

大ウソでした…^^;;; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

「2つの単調増加関数のグラフ」については，交点はいくつなのかは不明です．
例えば，sin x+2xと2xはともに単調増加ですが，
xがπの整数倍のときに値は等しくなり，交点は無数に存在します．
さらに，2^x=x^2は，x=2以外にx=4も解にもちます．

例えば次のようにできます．
x>0の下で，2^x>x^2をさらに変形して，(√2)^x>x.
y=(√2)^xのグラフは下に凸，y=xのグラフは直線より，
共有点は高々2つで，実際x=2,4が共有点を与える．
グラフを考えれば，不等式を満たすxの範囲はx<2,4<x.
よって，自然数nは，n=1およびn≧5. 

*同じことですが...

xlog2 と 2logx とを比べればよかったのかなぁ…

xlog2 は直線…

2logxは上に凸の単調増加…

交点は高々2個

x=4 のときもあるのでした…

これってどうやって求めればいいんだろ…^^;…?

目分量かいなぁ…^^;;

[スモークマン]

＞0:10amの鍵コメT様へ ^^
そっかぁ…☆
安易でした…Orz〜
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v