12916：120の倍数+1=平方数...

問題12916・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37663198.html#37663198 より Orz～

　1･120＋1＝121，3･120＋1＝361，7･120＋1＝841，8･120＋1＝961，…… のように、

　120倍に1を加えると平方数になる自然数を小さい順に並べて、数列 1，3，7，8，…… を作ります。

　このとき、この数列の第48項は？　また、第480項は？　更に、第4800項は？　

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37676394.html より Orz～

　できる平方数は奇数ですので、(2k＋1)²＝4k(k＋1)＋1 で表され、

　題意より k(k＋1)/30 が自然数になるものを小さい方から並べることになります。

　k(k＋1) は必ず偶数になりますので、k(k＋1) は 15の倍数になればよいことになり、

　k≡－10，－6，－1，0 (mod 15) 、k＝15n－10，15n－6，15n－1，15n と表されます。

　k＝15n－10 のとき k(k＋1)/30＝(15n－10)(15n－9)/30＝(3n－2)(5n－3)/2 、

　k＝15n－6 のとき k(k＋1)/30＝(15n－6)(15n－5)/30＝(5n－2)(3n－1)/2 、

　k＝15n－1 のとき k(k＋1)/30＝(15n－1)･15n/30＝(15n－1)n/2 、

　k＝15n のとき k(k＋1)/30＝15n(15n＋1)/30＝n(15n＋1)/2 になります。

　従って、第(4n－3)項は (3n－2)(5n－3)/2 ，第(4n－2)項は (5n－2)(3n－1)/2 ，

　第(4n－1)項は (15n－1)n/2 ，第(4n)項は n(15n＋1)/2 です。

　第(48m)項は 12m(15･12m＋1)/2＝6m(180m＋1)＝(1080m＋6)m ですので、

　m＝1 として第48項は (1080･1＋6)･1＝1086 、

　m＝10 として第480項は (1080･10＋6)･10＝108060 、

　m＝100 として第4800項は (1080･100＋6)･100＝10800600 です。

*これは何とかゴールできましたわ ^^v

120k+1=m^2
(m-1)(m+1)=120k
m-1=s
s(s+2)
s=2n
2n*2(n+1)
n(n+1)=30k
n(n+1)は偶数なので…n(n+1)の因子に3,5があればいい…
n=5t
5,10,15,20,25,30,…
tが3の倍数のときは2個、それ以外のときは1個が満たす…

3m+m=48
m=12
t=36,n=180,s=360,k=360*362/120=1086♪
480/4=120
t=360,n=1800,s=3600,k=3600*3602/120=108060
4800/4=1200
t=3600,n=18000,s=36000,k=36000*36002/120=10800600