14856：旧跡...25角形の面積...

問題14856・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38152126.html#38152126 より Orz〜

　座標平面上の (n，n(n＋1)/2) (n＝0，1，2，……，24) を頂点とする二十五角形の面積は？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38164067.html より Orz〜

[解答1]

　(0，0)，(n，n(n＋1)/2)，(n＋1，(n＋1)(n＋2)/2) を頂点とする三角形の面積は、

　｛n(n＋1)(n＋2)/2−(n＋1)n(n＋1)/2｝/2＝n(n＋1)/4＝−(n−1)n(n＋1)/12＋n(n＋1)(n＋2)/12 で、

　n＝1，2，……，23 として加えると、

　−0＋1･2･3/12−1･2･3/12＋2･3･4/12−2･3･4/12＋3･4･5/12−……−22･23･24/12＋23･24･25/12

　 ＝23･24･25/12＝1150 です。


[解答2]

　y＝x(x＋1)/2 上の２点を結ぶ線分とこの放物線で囲まれる面積は、

　２点のｘ座標を a，b (a＜b) とすれば、(b−a)³/12 です。

　よって、求める面積は、

　(24−0)³/12−(1−0)³/12−(2−1)³/12−(3−2)³/12−……−(24−23)³/12

　 ＝24³/12−24･1³/12＝2･24²−2＝1150 です。

*地道にしか気づけず ^^;

[解答2]は目から鱗がまたポロリン☆

高さ=24*25/2=300
底辺=24
so…
(24,0)=P
(24,300)=Q
□OPQ=24*300=7200
Σ[k=1〜24](49-2k)(k(k+1)-(k-1)k)/2
=Σ[k=1〜24](49-2k)k
=49*24*25/2-24*25*49/3
=4900
25角形の面積=(7200-4900)/2=1150

[スモークマン]

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