14857：証明...2005の倍数で、0〜9がいずれも等しい回数現れる数は無数にある...

問題14857・・・http://en.whotwi.com/handmade_math/tweets?&page=12 より 引用 Orz〜

2005の倍数であって,各桁に0,1,2,3,4,5,6,7,8,9がいずれも等しい回数現れるようなものが無限個存在することを示せ.

(2005 オーストリア連邦競技会)

解答

・わたしの...

10^φ(2005)≡1 mod 2005

φ(2005)=φ(5)φ(401)=4*400=1600

so...

10^1600≡1 mod 2005

99...99≡0・・・9が1600個

9と2005は互いに素なので...

11...11≡0 なので、

例えば...

11...1122...2233...33...44...4455...5566...6677...7788...8899...9900...00

各数字がそれぞれ1600個並ぶような数は2005で割れるので...

これをセットにした数はすべて2005の倍数になりますね ^^

例えば...

φ(7)=6

10^6-1≡0  mod 7なので...

9*111111から...

111111/7=15873

当然ながら...

111111222222333333444444555555666666777777888888999999000000/7

=15873031746047619063492079365095238111111126984142857000000

↑

正確性に欠けてました...^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

10^1600は5の倍数であり，mod2005で1と合同のはずはありません．
ただし，φ(2005)の代わりにφ(401)を用いて同様の議論は可能であり，
φ(2005)はφ(401)の倍数なので，結論は正しくなります．

なお，問題14698です．

https://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/folder/931624.html?m=lc&sv=14698&sk=0

*なんと同じ問題でしたか...^^;

[スモークマン]

＞11:55pmの鍵コメT様へ ^^
なるほど☆
その辺りいい加減なわたし...^^;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v