14866：40C20≡？ (mod 41)

問題14866・・・http://integers.hatenablog.com/entry/2015/12/19/000000 より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

40*39*...*2*1/(20*19*...*1)^2

(41-1)*1*(41-2)*2*...*(41-20)*21/(20*19*...*1)^2

≡(1*2*...*21)^2/(20*19*...*1)^2

≡21^2=441≡31

ね ^^

↑

またやってもうてましたわ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

式の2行目は微妙に変だと思います．正しくは，
(41-1)*1*(41-2)*2*…*(41-20)*20/(20*19*…*1)^2
ですね．

*でしたぁ ^^;

なんでいつも間違っちゃうんだろうか知らん...^^;;

40!=(40C20)*(20!)^2であり，
mod 41で，40!≡(40C20)*(20!)^2…[*]です．
また，40!≡(20!)*(-20)*(-19)*(-18)*…*(-1)≡(20!)^2であり，[*]から
(40C20)*(20!)^2≡(20!)^2.…[**]
(20!)^2は41で割り切れず，41は素数だから(20!)^2は41と互いに素なので，
[**]の両辺を(20!)^2で割ることができて，
40C20≡1 (mod 41)とわかります． 

[スモークマン]

＞11:25pmの鍵コメT様へ ^^
ありゃ...^^;
そっか...40C20≡(20!)^2/(20!)^2≡1 になるわけでしたのね☆
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v