15171：分母が30の既約分数で3以下のものの和は？

問題15171・・・https://twitter.com/sansu_seijin?ref_src=twsrc%5Etfw&ref_url=http%3A%2F%2Fsansu-seijin.jp%2F%3Fp%3D8668 より 引用 Orz〜

3以下の分母が30の既約分数（約分できない分数）の和はいくつですか。

解答

・わたしの...

3=90/30

so...

分子が90以下で30と素な数...

30=2*3*5

2の倍数

2,4,6,...,90・・・2(1+2+...+45)=23*45・・・45個

3の倍数

3,6,9,...,90・・・3(1+2+...+30)=3*31*15・・・30個

5の倍数

5,10,15,...,90・・・5*(1+2+...+18)=5*9*19・・・18個

6の倍数

6,12,18,...,90・・・6(1+2+...+15)=6*8*15・・・15個

10の倍数

10,20,30,...,90・・・10(1+2+...+9)=450・・・9個

15の倍数

15,30,45,...,90・・・15(1+2+3+4+5+6)=15*3*7・・・6個

30の倍数

30,60,90・・・180・・・3個

合計=23*45+3*31*15+5*9*19-6*8*15-450-15*3*7+180=1980・・・66個

分子の合計=1+2+...+90=91*45=4095

so...

(4095-1980)/30=2115/30=141/2=70.5

ね ^^

↑

ミスってます...^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのスマートな解法 Orz〜☆

「2,4,6,…」について，合計は23*45ではなく，その2倍です．
結局，「合計=」の行の合計は3015となります．
結論は，(4095-3015)/30=36です．

次の方法が普通かもしれません．

30以下で30と互いに素な自然数は，(2-1)*(3-1)*(5-1)=8(個)あり，
90以下で30と互いに素な自然数は，その3倍で24個です．
それらは3/2を中心に，対称に分布するから，求める合計は24*(3/2)=36です．

*30とmが既約ならば、90-mも既約...

その和=3

既約なものの個数/2 個分の和で良かったわけですね ^^;v

[スモークマン]

＞1/3,4:20pmの鍵コメT様へ ^^
あたっ...^^;

mが30と既約なら...(90-m)も既約...
so...
平均が90/30=3
90以下の30と互いに素なものの個数が24
so...
合計=(24/2)*3=36 ってことですね ^^☆

簡明!!
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v