15326：n!の末尾に2018個の0が並ぶMin{n}=?...

問題15326・・・水野先生のサイト「水の流れ」http://ryugen3.sakura.ne.jp/renzoku.html より Orz〜

解答

・わたしの...

(1)

[2018/5]=403

[403/5]=80

[80/5]=16

[16/5]=3

so...

403+80+16+3=502個

(2)

1+9+49+249+1249=1557

2+14+70+350+1750=2186

2+13+65+325+1625=2030

2+12+64+320+1600=1998

2018-1998=20

so...

2+12+64+323+1617=2018・・・ビンゴ ^^

so...

1617*5=8085

8085! ですね ^^

もっとスマートにできないのかしらん...?

・鍵コメT様からのエレガントな解法 Orz〜☆

(1)は提示されている方法が最も素直ですが，(2)に応用するには，
別の方法も有力だと思います．

n!の末尾の0の個数，つまり，「n!が何回5で割り切れるか」は，
nを5進法で表し，数字の合計をnから引いて，1/4倍すれば得られます．
2018=31033[5]から，求める個数は，(2018-(3+1+3+3))/4=502となります．
これでよい理由を，元の数が[ABCDE][5]である場合で示すと，次のようです．
足すべきものは，[ABCD][5],[ABC][5],[AB][5],[A][5]であり，
その合計は，
A*1111[5]+B*111[5]+C*11[5]+D*1[5]
=A(10000[5]-1)/4+B(1000[5]-1)/4+C(100[5]-1)/4+D(10[5]-1)/4+E(1[5]-1)/4
=([ABCDE][5]-A-B-C-D-E)/4. 

(2) nから，nの5進法表示の数字の合計を引くと，2018*4=8072となるので，
nは8072よりは(少しだけ)大きな数となります．

8072=224242[5]となることから，8072!の末尾の0は，
(8072-(2+2+4+2+4+2))/4=2018-4=2014(個)であり，これ以降，0の個数は
8075で2個，8080で1個，8085で1個
増えるので，結論はn=8085です．

*0の個数は，
8074!と比べて8075!で2個増え，
8079!と比べて8080!で1個増え，
8084!と比べて8085!で1個増えて，
「2018-4個」の不足分「4個」が補填されます．

nが大きくなると，nを5進法で表したときの数字の合計は
nとは比べ物にならないほど小さな数となるので，
(0の個数が大きい数であるときは)かなり効率的にnを求め得る手法です．

*素敵な方法ねぇ...お気に入りぃ〜^^♪

[スモークマン]

＞9:25pmの鍵コメT様へ ^^
ナイスですね☆

>8075で2個，8080で1個，8085で1個増える

は...「8075で4個,8080で5個,8085で8個増える」 ですね ^^

紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v

[スモークマン]

＞10:26pmの鍵コメT様へ ^^
そうですよねぇ ^^;
わざわざ...
(8075-(2+2+4+(3)+(0)+(0))/4...で計算してましたぁ...
しかも...(+3+(8-3))/4=+2個 でしたわ...Orz...
直しておきまっす〜m(_ _)m〜v