15341：1^n+2^n+3^n+4^n≡0 (mod 5)を満たす非負整数nは？

問題15341・・・http://www.kyoto-be.ne.jp/koukyou/cms/?action=common_download_main&upload_id=13999 より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

1^n+(5-1)^n+2^n+(5-2)^n≡0  (mod5)

so...

明らかに...n=奇数

nが偶数のときは...

2+2*4≡0 (mod 5)

2^2≡4

2^4≡6

2^6≡4

2^8≡6

...

(2^2)^(2m+1)

のとき...

so...

n=4m+2 のとき

けっきょく...

n=4m 以外のとき=4の倍数でないとき ^^

or

フェルマーの定理から...

1^4≡-1

2^4≡-1

3^4≡-1

4^4≡-1

n=4m+1... OK

n=4m+2... OK

n=4m+3... OK

が早いか...^^

↑

後半のフェルマーの定理...無茶苦茶でアリンスカヤ ^^;; Orz〜...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

1^4≡2^4≡3^4≡4^4≡1 (mod 5)です．
これを用いると，
・nが4の倍数のときは条件を満たさないこと，
・nを4増やしても，条件を満たすかどうかは不変であること
がわかりますね．

特に後者は有用な情報であり，
「n=1,2,3のとき，1^n+2^n+3^n+4^n=10,30,100ですべて条件を満たす」
ことを確かめれば結論が得られます．

*なるほど!!...でっす ^^;v♪

[スモークマン]

＞8:16pmの鍵コメT様へ ^^
無茶やらかしてましたわ ^^;...
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v