16407：正四角錐を任意に切り分けたとき,切り口が正五角形になるときの斜辺の長さは？...^^;

問題16407・・・https://school2.5ch.net/test/read.cgi/ojyuken/1036856456/ より 引用 Orz〜

正方形の１辺の長さを１とし他の辺ａとする正四角錐Ｔを考える。 
Ｔを任意に切り分けたときに切り口が正五角形になるようなａの 値を求めよ。 

解答

困難解けるの...^^;

・上記サイトより Orz〜

対称性を利用すると、問いの大きな四角錘の底辺の中に 
（正5角形の一辺をその底辺とする）小さな四角錘ができて、 
それらの比が√2：１。 

また、大きな四角錘の斜辺aに対応する小さな四角錘の斜辺の長さは 
正5角形の頂点と中心との長さに等しいので√2/2。 

対応する辺の比を取ると、√2:1=a:√2/2 

よって、a=1 

*四角錐の切り口が五角形になるためには、 

絶対に底面を切らなきゃいけない。 
問題には「任意に四角錘を切り分けたときの切り口が正五角形になるような」 
って書いてあるだろ。 

この文が意味するのは 
「四角錘の底面の隣り合う任意の二組の辺を選んで切り口がそこに掛かるように四角錘を切り分けたとき、 
いずれの辺の組み合わせにおいても切り口が正五角形にならなければならない」 
ということなんだよ。 

たとえば、正方形の頂点をABCDとおいて、頂点がこの順番で並んでるとすると、 
辺AB-辺BCにかかる切り口、BC-CD、CD-DA、DA-ABに掛かる切り口が、 
いずれも正五角形を構成する辺にならなければならないということ。 

要するに、底面におけるどの二辺を選択しても正五角形が 
できるようにaの値を決めなければならないっていう 
かなりきつい制限なんだよ。 

四通りの可能性がある切り分け方のすべてにおいて正五角形が 
できなければならない。 
さらに底面が正方形である。

これは、「底面の正方形の対角線の交点を軸にした点対称」である。

*最初の正四角錐でできるせい５角形の１辺の長さが√2/2だとまではわかるけど...そこからよくわからない...