すべての素数の積=4π^2...

画像：http://cosmos.art.coocan.jp/ch/ch36.htm より 引用 Orz〜

「マンデルブロー集合図は素数の分布や素粒子の分布(宇宙の大規模構造)との類似点が多い。」

いつ見ても美しいですね...曼荼羅 ^^

何やわよくわからねど...面白い話は好きな者で ^^

https://school2.5ch.net/test/read.cgi/ojyuken/1036856456/ より 引用 Orz〜

「すべての素数の積が4π^2 になることを証明」

「ζ(n)=1/(1^n)+1/(2^n)+1/(3^n)・・・・・とおく 

ζ(n)={1+1/(2^n)+1/(2^2n)+・・・・}{1+1/(3^n)+1/(3^2n)+・・・・}{1+1/(5^n)+1/(5^2n)+・・・・ 
　 =1/{1-1/(2^n)}・1/{1-1/(3^n)}・1/{1-1/(5^n)} ・・・・ 

この両辺の絶対値の自然対数を取ると 
log ｜ζ(n)|=log|1/{1-1/(2^n)}|+log| 1/{1-1/(3^n)}|+log | 1/{1-1/(5^n)}|・・・・ 
　　　　= -log|1-1/(2^n)|-log| 1-1/(3^n)|-log | 1-1/(5^n)|・・・・ 
　　　　=-{1/(2^n)-1/2・1/(2^2n)- 1/3・1/(2^3n)-・・・} 
　　　　 -{1/(3^n)-1/2・1/(3^2n)- 1/3・1/(3^3n)-・・・} 
　　　　 -{1/(5^n)-1/2・1/(5^2n)- 1/3・1/(5^3n)-・・・} 
　　　　={1/(2^n)+1/(3^n)+1/(5^n)+・・・} 
　　　　 +1/2{1/(2^2n)+1/(3^2n)+1/(5^2n)+・・・} 
　　　　 +1/3{1/(2^3n)+1/(3^3n)+1/(5^3n)+・・・} 
　　　　 +・・・ 
　　　　=Σ1/(p^n)+1/2Σ1/(p^2n)+Σ1/3(p^3n)+・・・　(n≧0)　となる。 
∴｜ζ(n)|=e^{Σ1/(p^n)+1/2Σ1/(p^2n)+Σ1/3(p^3n)+・・・}　　…① 

①の両辺をnで微分すると 

｜ζ’(n)|=d/dn(Σ1/(p^n)+1/2Σ1/(p^2n)+Σ1/3(p^3n)+・・・) 
*e^{Σ1/(p^n)+1/2Σ1/(p^2n)+Σ1/3(p^3n)+・・・} 
　　　 =-( Σlogp/(p^n)+ Σlogp/(p^2n)+ Σlogp/(p^3n)+・・・) *｜f(n)| 

よってζ(n)≠0のとき 
|ζ’(n)|/| ζ(n)|= -( Σlogp/(p^n)+ Σlogp/(p^2n)+ Σlogp/(p^3n)+・・・)　…② 
ここでζ(0)=-1/2　ζ’(0)=-1/2log(2^π) 

②にn=0 を代入すると 
|-1/2log(2^π)|/|-1/2|=-Σlogp-Σlogp-Σlogp・・・ 
　　　　　　　　　　=-(1+1+1+1+1+・・・) *Σlogp 
　　　　　　　　　　=-ζ(0) Σlogp 
　　　　　　　　　　=-(-1/2) Σlogp 
　　　　　　　　　　=1/2Σlogp 
よって　1/2Σlogp=log(2^π) 
　　　　 Σlogp= log(4π^2) 
log2+log3+log5+・・・= log(4π^2) 
log(2*3*5*7・・・)= log(4π^2) 
2*3*5*7・・・=4π^2　　　　　証明終わり。 」

*熟読玩味ぃ〜^^;☆

関係ないけど...

半径√3の球の表面積=半径1の球3個分の表面積あるね ^^