16520：外接円と傍心円...傍心円の半径の和...

問題16520・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38511908.html#38511908 より Orz～

　cosB＝－2/7 ，cosC＝2/3 ，外接円の半径が 4 である △ABCについて、３個の傍接円の半径の和は？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38521907.html より Orz～

[解答1]

　sinB＝√(1－cos²B)＝√(1－4/49)＝(3√5)/7 、sinC＝√(1－cos²C)＝√(1－4/9)＝(√5)/3 、

　sinA＝sin(π－A)＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝(6√5)/21－(2√5)/21＝(4√5)/21 、

　BC：CA：AB＝sinA：sinB：sinC＝(4√5)/21：(3√5)/7：(√5)/3＝4：9：7 になり、

　BC＝4k ，CA＝9k ，AB＝7k とおくことができ、

　BC＝2RsinA より、4k＝2･4･(4√5)/21 、k＝(8√5)/21 、(√5)k＝40/21 です。

　辺BC，辺CA，辺ABに接する傍接円の半径をそれぞれ r_A ，r_B ，r_C とし、

　△ABCの外接円の半径を R ，面積を S とします。

　辺BCに接する傍接円の中心を P とすれば、S＝△PCA＋△PAB－△PBC より、

　2S＝2△PCA＋2△PAB－2△PBC＝CA･r_A＋AB･r_A－BC･r_A ですので、

　r_A＝2S/(CA＋AB－BC) になり、同様に、r_B＝2S/(AB＋BC－CA) ，r_C＝2S/(BC＋CA－AB) です。

　2S＝BC･CA･sinC＝4k･9k･(√5)/3＝12(√5)k²＝12(40/21)k＝160k/7 、

　r_A＋r_B＋r_C＝(160k/7)/(9k＋7k－4k)＋(160k/7)/(7k＋4k－9k)＋(160k/7)/(4k＋9k－7k)

　＝40/21＋80/7＋80/21＝360/21＝120/7 です。

[解答2]

　sinB＝√(1－cos²B)＝√(1－4/49)＝(3√5)/7 、sinC＝√(1－cos²C)＝√(1－4/9)＝(√5)/3 、

　cosA＝－cos(π－A)＝－cos(B＋C)＝－cosBcosC＋sinBsinC＝4/21＋15/21＝19/21 です。

　辺BC，辺CA，辺ABに接する傍接円の半径をそれぞれ r_A ，r_B ，r_C とし、

　△ABCの外接円の半径を R ，面積を S とします。

　辺BCに接する傍接円の中心を P とすれば、S＝△PCA＋△PAB－△PBC より、

　2S＝2△PCA＋2△PAB－2△PBC＝CA･r_A＋AB･r_A－BC･r_A ですので、

　r_A＝2S/(CA＋AB－BC) になり、同様に、r_B＝2S/(AB＋BC－CA) ，r_C＝2S/(BC＋CA－AB) です。

　r_B＋r_C＝2S/(AB＋BC－CA)＋2S/(BC＋CA－AB)＝2S｛1/(AB＋BC－CA)＋1/(BC＋CA－AB)｝

　＝2S｛(BC＋CA－AB)＋(AB＋BC－CA)｝/｛(AB＋BC－CA)(BC＋CA－AB)｝

　＝2S･2BC/｛BC²－(CA－AB)²｝＝2BC･2S/(CA²＋AB²－2･CA･AB･cosA－CA²＋2･CA･AB－AB²)

　＝(2BC･CA･AB･sinA)/｛2･CA･AB･(1－cosA)｝＝(BC･sinA)/(1－cosA)

　＝(BC･sinA)(1＋cosA)/｛(1－cosA)(1＋cosA)｝＝BC(1＋cosA)/sinA＝2R(1＋cosA) になり、

　(r_B＋r_C)/2＝R(1＋cosA) 、同様に、(r_C＋r_A)/2＝R(1＋cosB) ，(r_A＋r_B)/2＝R(1＋cosC) です。

　辺々加えて、r_A＋r_B＋r_C＝R(3＋cosA＋cosB＋cosC) になります。

　本問では、R＝4 ，cosA＝19/21 ，cosB＝－2/7 ，cosC＝2/3 ですので、

　r_A＋r_B＋r_C＝4(3＋19/21－2/7＋2/3)＝4(63＋19－6＋14)/21＝4･90/21＝120/7 です。

[解答3]

　https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/20421403.html の(7)より、

　外接円の半径を R ，内接円の半径を r とすれば、３個の傍接円の半径の和は 4R＋r です。

　cosB＝－2/7 ，cosC＝2/3 より sinB＝(3√5)/7 ，sinC＝(√5)/3 ，

　sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝(4√5)/21 です。

　三角形の面積は 2R²sinAsinBsinC＝(BC＋CA＋AB)r/2 だから、

　2R²sinAsinBsinC＝(2RsinA＋2RsinB＋2RsinC)r/2 、2RsinAsinBsinC＝(sinA＋sinB＋sinC)r 、

　r＝2RsinAsinBsinC/(sinA＋sinB＋sinC)＝2･4･(60√5)/441/｛(20√5)/21｝＝8/7 、　

　4R＋r＝4･4＋8/7＝120/7 です。

*これは...やどかりさんの上の記事を探し出せたのが僥倖でなんとか ^^;v

sinB=√(1-(2/7)^2)=3√5/7
sinC=√(1-(2/3)^2)=√5/3
sinA=sin(π-(B+C))=-sin(B+C)=(3√5/7)*(2/3)+(√5/3)*(-2/7)=4√5/21
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R=8
a=8*4√5/21
b=8*3√5/7
c=8*√5/3
2△ABC=ac*sinB=(8*4√5/21)( 8*√5/3)( 3√5/7)
=(a+b+c)r=(8*4√5/21+8*3√5/7+8*√5/3)*r
r=8/7
so…
やどかりさんの記事https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/20421403.html
より天下り的に…Orz…
ra+rb+rc=4R+r
=16+8/7
=120/7