17105：8^9と9^8の大小は？

夏再び ^^;♪

問題17105・・・http://task.naganoblog.jp/c10253_4.html より 引用 Orz〜

8^9 と 9^8 とはどちらが大きい？

解答

冴えない...^^;

気づけなかったわ...

上記サイト参照〜♪

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(解法1)
算数にこだわらず，数学として考えれば，
1/72乗どうしを比べることにして，8^(1/8)と9^(1/9)について，
f(x)=x^(1/x)の増減を調べるのが自然な方法だと思います．
log f(x)=(log x)/x=g(x)とおいて，g'(x)=(1-log x)/(x^2)となるので，
f(x)は，x≧eで減少し，f(8)>f(9).
よって，8^9>9^8.

(解法2)
算数の範囲で考えるとして，A=8^8をベースにする方法もありそうです．
8^9はAの8倍ですが，9^8は，Aの(9/8)^8倍です．
9/8=1.125は，2乗しても1.4に届かず，すると，4乗しても2に届きません．
8乗は4未満であり，(9/8)^8倍は，8倍よりも小さいことがわかります．

*[解法2]は巧すぎ♪

[スモークマン]

＞9:54pmの鍵コメT様へ ^^
[解法2]は巧い/巧すぎる比較ですね☆

[解法1]の方なんですが...
x=eのときがMaxの上に凸のグラフになりますが...
f(e)>f(2)
f(e)>f(3)
まではわかりますが...f(2)>f(3)は言え流のかなぁ...^^;...? Orz〜

[スモークマン]

＞10:41pmの鍵コメT様へ ^^
そっか ^^;
失礼しました Orz〜
上に凸とは言わないの？...^^;;

[スモークマン]

＞11:21pmの鍵コメT様へ ^^
なるほど...全体の形で言うのではないのでしたか...^^; Orz〜
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v

[スモークマン]

↑
lim[x→∞] x^(1/x)=1 になるようですが...
lim[x→∞] (logx)/x=0 だからなのですね ^^

[スモークマン]

＞11:58pmの鍵コメT様へ ^^
I see. ^^v
グラッチェ Orz〜