17345：正十二面体を隣り合う色が同じにならないように4色使って塗り分ける方法は？

彼、ドナルドの恋人のデイジーも一緒にきてたわ ^^

問題17345(友人問)

正十二面体の全ての面を4色を使って塗り分ける方法は何通りあるか。

ただし辺を隔てて隣り合う面は異なる色で塗るものとし、回転により

一致する塗り方は同じものとみなす。

解答

・わたしの...

4色全て必要なことはわかる...

↑

抜けているようです ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

まず，「回転により一致する塗り方も区別する場合」(*)を数えてみます．
4色をA,B,C,Dとしましょう．

机に固定して置かれているものとし，机に接している面は4通りが可能．
それと隣接する5面は，B,C,Dの3色とも使うことになり，
どれか1色だけは1回しか使わず，残り2色は2回使います．
1回だけの色が3通り可能で(仮にDとして)，その色がどの面かが5通り．
残り4面は，Dの隣から時計回りに，BCBCまたはCBCBで2通り．
その上に位置する5面は，上面に塗れる色を残すために4色全部は使えず，
B[1]C[2]B[3]C[4]D[5](B)の場合について，
([1],[2],[3],[4],[5])=(D,A,D,B,A),(A,D,A,D,C)の2通りが可能．
どちらの場合も，上面に塗る色は1通りに定まる．

ということで，(*)の場合は4*3*5*2*2=240(通り)だと思います．
1つの塗り方に対して，置き方は，
机に接している面の決め方が12通り，水平に回転する仕方が5通り
より60通りなので，求める数は240/60=4(通り)ではないでしょうか．

*どの面から見ても、色の種類の個数の比率が等しく(12/4=3個ずつ)なるように考えればよかったのかなぁ...^^;...熟読玩味ぃ～^^;v

・友人から届いたもの...

*考え方はわかったけど...

難しいわ ^^;...

・鍵コメT様からの追加説明 Orz～

次の問題は有名問題です．
「立方体の6面をA,B,C,D,E,Fの6色で塗り分けるとき，何通りの塗り方があるか．
ただし，回転して一致する塗り方は同じ塗り方とみなす．」
これに対する解答方針は，大きく分けて2通りあります．

[解1]
Aの面を固定すると，その反対側に塗る色はB～Fの5通り．
それがBであった場合，残りのC,D,E,Fの円順列を考えて3!=6(通り)．

Aの反対側が他の色であった場合も同様だから，求める数は，5*6=30(通り)．

[解2]
仮に，立方体の回転により一致する塗り方も別扱いにするとすれば，
塗り方は6!=720(通り)ある．

回転して一致する立方体を同じとみなすので，
この「720通り」は同じものを重複して数えている．
「何回重複して数えたか」は，特定の立方体の置き方の数で決まり，
それは，「底面」6通り，「水平に回転」4通りで，結局24通り．

以上より，求める数は，720/24=30(通り)．

慣れないと難しく感じやすいですが，実は[解2]は極めて有力な考え方です．
つまり，「回転して重なるものは同一視」については，
最後に「何回重複しているか」を考えるときにだけ気にすればよいわけです．

すでに提示した私の解答方針は，この[解2]と同じ考え方によるものです．

*なるほどでっす☆

but...それがすぐ応用できるかどうかが別問題あるわけなのですねぇ...^^;