17347：n(n+1)(2n+1)は6の倍数...4通りの証明...^^;

朝起きられず...朝食抜きのまま就業...^^;

問題17347・・・出会いの泉より https://6626.teacup.com/shochandas/bbs? S(H)様紹介問 Orz〜

2*n^3 + 3*n^2 + n=n*(1 + n)*(1 + 2*n)
は必ず６の倍数となる事を証明せよ。
ただし、4 通り作って下さい。

解答

・わたしの...

(1)

n(n+1)(2n+1)

=n(n+1)((n-1)+(n+2))

=(n-1)n(n+1)+n(n+1)(n+2)

3連続数の積は2*3=6の倍数より、どちらの項も6の倍数

(2)

n(n+1)(2n+1)

n=3m...明らか

n=3m-1...明らか

n=3m+1...明らか

(3)

Σ[k=1〜n]k^2=n(n+1)(2n+1)/6=整数より明らか

くらいしか思いつけず...^^;

・鍵コメT様からのもの Orz〜

次のもよくある手法ですかね．

a[n]=n(n+1)(2n+1)として，
a[n+1]=(n+1)(n+2)(2n+3)であり，
a[n+1]-a[n]=(n+1)((2n+3)(n+2)-n(2n+1))=(n+1)(6n+6)は6の倍数．
a[0]=0は6の倍数だから，ここから6の倍数ずつ何度か増減したものは6の倍数．

*なるほどです ^^☆

[スモークマン]

＞10/2.0:11amの鍵コメT様へ ^^
なるほど☆
そうですよね !!
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v