17349：あるフォルムの□の対角線...^^;

問題17349・・・http://task.naganoblog.jp/c56195_1.html より 引用 Orz〜

図の四角形で、辺BC、線分BDの長さを求めよ。
（ラ・サール高）

解答

・わたしの...

AC^2=7^2+4^2=1^2+BC^2

BC=64

so...

AC=√65

トレミーから、

BD*√65=1*4+7*8=60

so...

BD=60/√65=12√65/13

トレミー使わずに出せますかいねぇ...?

・鍵コメT様からのもの Orz〜

トレミーの定理を使う方が楽ですが，使わなくても何とかなります．

三平方の定理から，AC=√65，BC=8．
AC,BDの交点をPとして，
△APD∽△BPCから，AP:BP=AD:BC=7:8.
同様に，BP:CP=1:4，CP:DP=8:7であり，

・・・△APB∽△DPCでもあるから...BP:CP=1:4 でもあるわけね ^^☆ 

AP:BP:CP:DP=7:8:32:28であり，AC:BD=39:36=13:12.
したがって，BD=(12/13)AC=(12/13)√65.

*これを使ってのトレミーの定理の証明ができるはずと思うもすぐには気づけず...^^;...

[スモークマン]

＞0:04amの鍵コメT様へ ^^
そうか♪
相似も思ったものの、追求しませんでしたが...なるほどですねぇ☆
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v
ってことは、これで、トレミーの定理も証明できるはずですが...
すぐに気づけず...^^;;

[スモークマン]

＞0:50amの鍵コメT様へ ^^
貴殿がhardってことは、比例計算だけでトレミーの定理を導くのは大変の湯なのねぇ ^^
後半は、余弦定理使えば...
AC^2=x^2+y^2-2xy*cosθ
=z^2+w^2+2zw*cosθ
2cosθ=(x^2+y^2-AC^2)/(xy)=(AC^2-z^2-w^2)/(zw)
so...
AC^2=(xy(z^2+w^2)+zw(x^2+y^2))/(xy+zw)
=(wx+yz)(xz+yw)/(xy+zw)
・・・最後の因数分解PCにさせました...わたしにゃ厳しかぁ...^^;
確かに...貴殿の言われるコラボの方がスムースに出せますようね☆
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v

[スモークマン]

↑
鍵コメT様へ ^^
貴殿の一般化を問題としてアップさせていただきまっす〜m(_ _)m〜v