17351：円に内接する□ABCDで、AB=x,BC=y,CD=z,DA=w のとき、対角線 AC,BDの長さをx,y,z,wの式で表してください...

問題17351(鍵コメT様からの一般化問題) Orz〜

四角形ABCDが円に内接し，AB=x,BC=y,CD=z,DA=wであるとき，

対角線AC,BDを求めよ。

解答

・鍵コメT様からのもの Orz〜

対角線の交点をPとして，

△APD ∽ △BPC

△APB ∽ △CPD

から、
AP:BP:CP:DP=wx:xy:yz:zw だから，AC:BD=(wx+yz):(xy+zw)，
トレミーの定理より，AC・BD=xz+yw．
よって，AC^2=(AC/BD)*(AC・BD)=(wx+yz)(xz+yw)/(xy+zw)，
BD^2=(BD/AC)*(AC・BD)=(xy+zw)(xz+yw)/(wx+yz)

so...

AC=√((wx+yz)(xz+yw)/(xy+zw))

BD=√((xy+zw)(xz+yw)/(wx+yz))