17359：各桁が1,2,3,4,5,6のいずれかである4桁の数で7の倍数はいくつ？...パズル ^^

これ、想定外の美味さで嬉し ^^v☆

問題17359(友人問)

各桁の数字が1,2,3,4,5,6のいずれかである4桁の自然数のうち、

7の倍数はいくつあるか。

解答

・わたしの...

デジャヴーだと思う... ^^

7桁なら、

6桁のうち、7の倍数x個

以外は、1～6を付け加えると7の倍数になる

so...

(6!-x)=7!/(6*2!)=420

so...x=6!-420=720-420=300

5桁の数のうち7の倍数でなかったものが6桁の7の倍数(x個)になり、

4桁の7の倍数だったものは5桁では7の倍数にはなれないわけだから、

4桁の7の倍数=x=300個

^^

↑

勘違いも含めおかしかったですわ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

「7桁なら，6桁のうち，7の倍数でないものに対応して7の倍数がある」(*)
のは正しいですが，「6!」とか「7!/(6*2!)」とかは意味がありません．

(*)の考え方を用いて，次のようになります．
n桁の7の倍数の個数をa[n]とする．
n+1桁の7の倍数は，n桁の，7の倍数でないものに対応して得られるから，
a[n+1]=6^n-a[n].
a[1]=0から，a[2]=6-0=6,a[3]=36-6=30,a[4]=216-30=186.

なお，a[n]/6^n=b[n]とすれば，
6^(n+1)*b[n+1]=6^n-6^n*b[n]から，b[n+1]=1/6-b[n]/6となり，
b[n+1]-1/7=-(1/6)*(b[n]-1/7)となります．
これより，b[n]-1/7=(b[1]-1/7)*(-1/6)^(n-1)=6/7*(-1/6)^n，
b[n]=1/7+6/7*(-1/6)^nとなって，a[n]=(6^n+6*(-1)^n)/7です．
これからa[4]=186を得ることもできますが，
4桁くらいなら順次求める方が多分楽でしょう．

*前半はよくわかりましたぁ ^^♪