17382：最大値...球と平面との交円上の2点...^^;

問題17382・・・http://task.naganoblog.jp/c73677_2.html より引用 Orz～

解答

・わたしの...

平面までの距離=5/√5=√5

so...

円の半径^2=6-5=1

so...

Cのy座標=-1

|PX+QX|^2

=|PX^2+QX^2+2*PX*QX|

=|6+6+2*PX*QX)|

(x-a)^2+(-1-b)^2=1

x^2+1+z^2=6

x=5+2z

(5+2z)^2+z^2=5

5z^2+20z+20=0

(z+2)^2=0

z=-2

so...x=1

so...

P(1,-1,-2)

X(1,y,-2)=(1,1,-2) に決まる...

so...

与式

=|12+2(1,-1,-2)(1,1,-2)|

=|12+2(1-1+2)|

=16

so...160

になりそうな...?

↑

そもそもの発想がダメでしたわ...and...

わたしのレベルでは無理だったぁ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

ベクトルXYを\vec{XY}のように表すとして，PQの中点をMとすると，
\vec{PX}+\vec{QX}=2\vec{MX}です．・・・なるほどでした☆
これの大きさを最大にしたいので，XをMから極力遠ざけることになります．

xz平面上の直線x+2z-5=0に原点から引いた垂線は，2x-z=0であり，
それらの交点において，(x,z)=(1,2)．
よって，Cは(1,0,2)を中心とする，平面x+2z-5=0上の半径1の円であり，
P(1,-1,2)，Q(1,-1,0)，M(1,-1,1).
平面x+2z-5=0は，ベクトル(1,0,2)と垂直で，
Mを通る平面の垂線上の点は(1+k,-1,1+2k)と表され，
これがx+2z-5=0上にあるとき，(1+k)+2(1+2k)-5=0からk=2/5.
つまり，Mから平面に下した垂線の足は(7/5,-1,9/5)となります．

Xはこの点からできるだけ遠くにとればよく，中心(1,0,2)から見て，
(7/5,-1,9/5)とは反対向き，つまり，(-2/5,1,1/5)の方向に1だけ進めばよく，
ベクトル(-2/5,1,1/5)の大きさが(1/5)√30だから，
X(1-2/√30,5/√30,2+1/√30)のときに最大となります．
M(1,-1,1)との距離の2乗は，
(-2/√30)^2+(5/√30+1)^2+(1/√30+1)^2=(4+25+1)/30+2(5+1)/√30+(1+1)
=3+(2/5)√30であり，
求める最大値は12+(8/5)√30となります．