17387：x＝cos72ﾟ＋i･sin72ﾟのとき, (1＋x^2)/(1＋x)＋2x/(1＋x^2)＋(x＋x^2)/(1＋x^3)＋(1＋x^3)/(1＋x^4)=?...

問題17387・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38687207.html#38687207 より Orz〜

　y＝(1＋x²)/(1＋x)＋2x/(1＋x²)＋(x＋x²)/(1＋x³)＋(1＋x³)/(1＋x⁴) において、

　x＝cos72ﾟ＋i･sin72ﾟ のとき、y＝？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38697121.html より Orz〜

　x⁵＝1 であることに注意して、

　y＝(1＋x²)/(1＋x)＋2x/(1＋x²)＋(x³＋x⁴)/(x²＋x⁵)＋(x＋x⁴)/(x＋x⁵)

　 ＝(1＋x²)/(1＋x)＋2x/(1＋x²)＋(x³＋x⁴)/(1＋x²)＋(x＋x⁴)/(1＋x)

　 ＝(1＋x＋x²＋x⁴)/(1＋x)＋(2x＋x³＋x⁴)/(1＋x²)

　 ＝(x＋x²)/(1＋x)＋(1＋x⁴)/(1＋x)＋(x＋x³)/(1＋x²)＋(x＋x⁴)/(1＋x²)

　 ＝x＋(x＋x⁵)/｛x(1＋x)｝＋x＋(x²＋x⁵)/｛x(1＋x²)｝

　 ＝x＋1/x＋x＋1/x＝2(x＋1/x)＝2(cos72ﾟ＋i･sin72ﾟ＋cos72ﾟ−i･sin72ﾟ)＝4cos72ﾟ ですので、

　cos72ﾟ＝(√5−1)/4 を使えば、y＝√5−1 です。

　cos72ﾟ の値を使わなければ、

　x⁵−1＝0 より、(x−1)(x⁴＋x³＋x²＋x＋1)＝0 、

　x≠1 だから、x⁴＋x³＋x²＋x＋1＝0 、x²＋x＋1＋1/x＋1/x²＝0 、

　(x＋1/x)²＋(x＋1/x)−1＝0 、x＋1/x＝(−1±√5)/2 、y＝2(x＋1/x)＝−1±√5 、

　y＝4cos72ﾟ＞0 ですので、y＝−1＋√5 です。

*同じ流れで解けました ^^

x+1/xがx^4+x^3+x^2+x+1=0 は...対称性から2cos72°と 2cos144°の値として求まるのですねぇ ^^☆

y＝(1＋x^2)/(1＋x)＋2x/(1＋x^2)＋(x＋x^2)/(1＋x^3)＋(1＋x^3)/(1＋x^4) 
x^5=1
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0

(1＋x^2)/(1＋x)+(1＋x^3)/(1＋x^4) 
=(1＋x^2)/(1＋x)+(x^5+x^3)/(x^5+x^4)
=(1＋x^2)/(1＋x)+(1+x^2)/(x(x+1))
=(1+x^2)(x+1)/(x(x+1))
=(1+x^2)/x
=x^4+x
2x/(1＋x^2)＋(x＋x^2)/(1＋x^3)
=2x/(1＋x^2)+(1+x)/(x^2(x^2+1))
=(2x^3+1+x)/(x^2(1+x^2))
=(2x^3+x^5+x)/(x^2(1+x^2))
=(x^4+2x^2+1)/(x(1+x^2))
=(x^2+1)/x
=x+x^4
so...
与式=2(x^4+x)=4*cos72°=√5-1

[スモークマン]

＞7:35pmの鍵コメ様へ ^^
○○がらみというだけで十分素敵≦だと思われます ^^♪

[スモークマン]

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