17399：底面が正方形の四角柱の切断面積...

問題17399・・・http://task.naganoblog.jp/c73677_5.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(1)

対角線は直交してるので...

RP^2=(tanβ-tanα)^2+(√2)^2

OQ^2=(tanβ+tanα)^2+(√2)^2

so...

S

=RP*OQ/2

=√((tanβ-tanα)^2+2)(tanβ+tanα)^2+2))/2

=√(((tanβ)^2-(tanα)^2)^2+4((tanβ)^2+(tanα)^2)+4)/2

(2)

tan(β+α)=(tanβ+tanα)/(1-tanβ*tanα)=1

7/6=√(tanβ+tanα)^2*((tanβ+tanα)^2-4tanβtanα)+4((tanβ+tanα)^2-2tanβtanα)+4)

49/36=x^2*(x^2-4y)+4(x^2-2y)+4

x=1-y

おぇ...こんなの解けないわん...^^;

↑

嘘でしたぁ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

極端な場合としてα=0のときを考えてみると，
四角形OPQRは長方形になりますね．

つまり，「対角線は直交」とは限りません．・・・確かに!! ^^;

(1) 座標を導入してO(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,d)とする．
P(1,0,tanα),R(0,1,tanβ)であり，
cos∠POR=(tanαtanβ)/√((1+(tanα)^2)(1+(tanβ)^2)).

・・・内積を利用すればよかったのね ^^;v

△OPR=(1/2)OP・ORsin∠POR
=(1/2)√((1+(tanα)^2)(1+(tanβ)^2)-(tanαtanβ)^2)
=(1/2)√(1+(tanα)^2+(tanβ)^2)から，
S=√(1+(tanα)^2+(tanβ)^2).

(2) S=7/6より，(tanα)^2+(tanβ)^2=13/36.
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=1だから，
tanα+tanβ=1-tanαtanβ.
tanα+tanβ=kとして，tanαtanβ=1-kであり，
(tanα)^2+(tanβ)^2=k^2-2(1-k)=k^2+2k-2となるから，
k^2+2k^2=13/36.
k>0だから，k=5/6となって，
tanα,tanβは，t^2-(5/6)t+1/6=0の2解．
t=1/2,1/3であり，α≦βだから，tanα=1/3. 

[スモークマン]

＞0:08amの鍵コメT様へ ^^
そっか!!
対角線は直行すると思えてしまうけど...長方形の場合(正方形以外)は（so...平行四辺形の場合も...ひし形以外)はちゃいましたね...^^;
貴殿の内積からcosを導き、sinを出し2△で求めればいいこと肉付けませんでしたのが無念...^^;;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v