17506：不等式の証明...^^;

問題17506・・・出会いの泉より https://6626.teacup.com/shochandas/bbs?page=2&; ようすけ様からの紹介問 Orz〜

(1) 実数x,y,zがx+y+z=2を満たすならば、xy+yz+zx＜2が成り立つことを示しなさい。(第220回)

(2) 実数x,y,zがxy+yz+zx=3を満たすならば、x+y+z≧3 または x+y+z≦-3が成り立つことを示しなさい。(第243回)

※いずれも、準1級2次の問題6。

解答

・上記サイトより Orz〜

・らすかる様のもの Orz〜

(x+y+z)^2=3(xy+yz+zx)+{(x+y-2z)^2+3(x-y)^2}/4≧3(xy+yz+zx) から
x+y+z=2のとき3(xy+yz+zx)≦(x+y+z)^2=4すなわちxy+yz+zx≦4/3＜2
xy+yz+zx=3のとき(x+y+z)^2≧3(xy+yz+zx)=9なので|x+y+z|≧3

*さっぱり思い付けましぇんばい ^^;

・ようすけ様からのもの Orz〜

公式の解答は以下の通りでした。

220回：
実数x,y,zが
x+y+z=2
を満たすとき
2(xy+yz+zx)
=(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)
=4-(x^2+y^2+z^2)

x+y+z=2より
(x,y,z)≠(0,0,0)
であるから
x^2+y^2+z^2＞0

よって
2(xy+yz+zx)＜4
すなわち
xy+yz+zx＜2

223回：
xy+yz+zx=3なので、

(x+y+z)^2-9
=(x+y+z)^2-3×3
=(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)
=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)-3(xy+yz+zx)
=x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)
=1/2{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}

x,y,zは実数より
{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}≧0

よって、
(x+y+z)^2-9≧0
すなわち
(x+y+z)^2≧9
がわかり
x+y+z≧3 または x+y+z≦-3

*こちらはトレースできますが...鮮やかすぎる ^^☆

・鍵コメT様からの逆発想のアプローチ Orz〜☆

(1),(2)は同じ趣旨の問題と思えます．

(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)=((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)/2≧0に注意する．

(1) x+y+z=2かつxy+yz+zx≧2とすると，
(x+y+z)^2-3(xy+yz+xz)≦-2となって矛盾．

(2) xy+yz+zx=3かつ-3<x+y+z<3とすると，
(x+y+z)^2-3(xy+yz+xz)<0となって矛盾．

*お見事♪

明日は仕事終わったら、即出なきゃ映画に間に合わない...so...もう寝まっす OrZzzz...

[スモークマン]

＞11:52pmの鍵コメT様へ ^^
あらま!!
なんとスッキリ☆
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜
押してもダメなら引いてみなってな(対偶)鮮やかさあるね!!