17588：条件を満たす自然数(a,b,c)の組の個数...

問題17588・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38708601.html#38708601 より Orz～

　a＜17，b＜17，c＜17，a＋b＞17，a＋b＋c＜34 のすべてを満たす自然数の組(a，b，c)の個数は？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38717511.html より Orz～

[解答1]

　a＋b＝17＋k (k＝1，2，3，……，15) とすれば、

　(a，b)＝(16，1＋k)，(15，2＋k)，……，(2＋k，15)，(1＋k，16) の 16－k 組あって、

　a＋b＋c＜34 より 17＋k＋c＜34 、c＜17－k だから、c は 16－k 通り、

　よって、(a，b，c)は (16－k)² 組あって、

　15²＋14²＋13²＋……＋2²＋1²＝15･16･31/6＝1240 です。

[解答2]

　17－a＝x ，a＋b＋c－17＝y とおけば、x，b，c，y は 17未満の自然数で、

　y－c＝(a＋b＋c－17)－c＝a＋b－17＞0 ，b－x＝b－(17－a)＝a＋b－17＞0 なので、

　0＜x＜b＜17 ，0＜c＜y＜17 ，y－c＝b－x となるように x，b，c，y を選ぶことになります。

　これは、縦横16本ずつの等間隔の直線でできる正方形の個数に他ならないので、

　15²＋14²＋13²＋……＋2²＋1²＝15･16･31/6＝1240 です。

*[解答1]もどきでしかわからず...^^

[解答2]は...そのような発想ができることには才能が必要と感じ入らされますわ...^^;

素敵すぎて...熟読玩味ぃ～^^;☆

x+y=m
18<=m<=32
1<=z<=16
19<=m+z<=33
例えば、a+b=18のとき...グラフから...格子点の個数は、16-(2-1)=15
a+b=32のとき...16-(16-1)=1なので...
m=32・・・格子点の個数=1・・・{z}=1
m=31・・・2・・・{z}=2
...
m=18・・・15・・・{z}=15

so...Σ[k=1～15]k^2=15*16*31/6=1240