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座標平面上の格子点を動く点Pがある。Pの座標が(a,b)で a+bを4で割った余りが0,1,2,3のとき、Pは各々 右、上、左、下にちょうど1移動する。ある格子点P0を 出発してこの操作を10回繰り返したら点(0,10)に到着した。 P0として可能な点を全て求めよ。
解答
・わたしの...
道理で前回は簡単すぎと思ったわ...^^;
10≡2
上:(0,1)
下:(0,-1)
右:(1,0)
左:(-1,0)
(x,y)+a(0,1)+b(0,-1)+c(1,0)+d(-1,0)
x+c-d=0
y+a-b=10
x+y+a-b+c-d≡10≡2
a+b+c+d=10≡2
so...
x+y+2(a+c)≡0
x-y+2(b+d)≡0
2x≡0, y≡0
c-d=±8, ±4, ±2, ±0
a-b=±2,±6,±10
so...a,b,c,dの偶奇は等しい...
(c,d)=(8,0),(0,8),(6,2),(2,6),(5,3),(3,5),(4,4)...(a,b)=(2,0),(0,2)
(c,d)=(5,1),(1,5),(4,2),(2,4),(3,3)...(a,b)=(3,1),(1,3)
(c,d)=(4,0),(0,4),(3,1),(1,3),(2,2)...(a,b)=(6,0),(0,6),(4,2),(2,4)
(c,d)=(2,0),(0,2),(1,1)...(a,b)=(7,1),(1,7),(5,3),(3,5)
(c,d)=(0,0)...(a,b)=(10,0),(0,10),(8,2),(2,8),(6,4),(4,6)
x=±(c-d)
y=±(a-b)
so...
(x,y)=(±8,±2),(±4,±2),(±2,±2),(0,±2)
(±4,±6),(±2,±6),(0,±6)
(0,±10),(0,±2)
*もっとスマートにできそうな...?
↑
全然でしたわ ^^; Orz...
↓
・鍵コメT様からのもの Orz〜
「x+yは，4で割って0または1余るときは1増え，2または3余るときは1減る」
のがポイントです． ある操作の結果，余りが0や3になることはあり得ないので， *ここが肝でしたわ ^^;☆...わたしゃ、よくわからんことしてました...^^;;
10回の操作で余り2になったのであれば，余りの推移は 0→1→2→1→2→1→2→1→2→1→2 2→1→2→1→2→1→2→1→2→1→2 のどちらかに限ります． すると，上移動5回と左移動4回は必須であり， あと1回は，右移動か左移動かのどちらかとなるので， P0は，(3,5)または(5,5)ですね． |
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＞7:30amの鍵コメT様へ ^^
そっか ^^;
やっと意味がわかりましたわ ^^;;
(0,10)-(0,5)+(4,0)=(4,5)
(4,5)-(1,0)=(3,5)
(4,5)+(1,0)=(5,5)
なるほどです ^^;v
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v
2018/10/26(金) 午後 8:33 [ スモークマン ]