17620：電灯の消えている部屋は？...クイズ ^^

問題17620・・・http://chosen-sansu.tokeruka.net/?p=7456 より　引用 Orz～

下の図のように縦に４部屋、横に４部屋の合計１６部屋が並んでいます。　各部屋から隣り合う部屋に移動することができますが、１部屋通るのに１分かかります。各部屋には電灯があり、電灯がついている部屋に入ると電灯が消え、電灯が消えている部屋に入ると電灯がつきます。最初、電灯の消えている部屋は図の|緑色で表されています。Ｓから入って７分でＧから出るとき、次の問いに答えなさい。

（１）Ｇから出たとき、

　　各部屋の電灯が次の図のようになる経路を線でかきなさい。

解答

（２）Ｇから出たとき、電灯が消えている部屋の数はいくつですか。考えられる数をすべて答えなさい。

解答

12,10,8,6個

（３）ＳからGまで行く経路は全部で何通りありますか。

解答

6C3=6*5*4/(3*2)=20通り

（４）Ｇから出たときに電灯が消えている部屋は、平均でいくつありますか？

解答

12...1通り

10...5通り

8...10通り(実は9通りしか確認で見ないのですけど...?)

6...4通り

so...

(12+10*5+8*10+6*4)/20=166/20=8.3個

（今年　２０１８年　洛南高附属中学）

・鍵コメT様からのもの Orz～

「8」の10通りは，以下の通りです．
(Sから入った後の移動方向で表します．)

「→→→↑↑↑」，「→→↑↑↑→」，「→↑→↑↑→」，
「→↑↑→→↑」，「→↑↑↑→→」，「↑→→→↑↑」，
「↑→→↑→↑」，「↑↑→→→↑」，「↑↑→↑→→」，
「↑↑↑→→→」

*何を数え抜かしたのか...不明...^^;...Orz～

(4)は，別解として，各部屋を通る経路数を考える方法もあります．
Sのすぐ上の部屋を(0,0)とし，右向きにx軸，上向きにy軸を考えて，
部屋に(0,0)～(3,3)の座標を対応させます．

・(0,0),(3,3)は必ず通り，その2部屋は電灯が消える．
・(1,0)と(0,1)は1/2ずつの確率でどちらかを通り，
これらのうちで電灯が消えた部屋は平均で1部屋．(3,2)と(2,3)も同様．
・(0,2)を通る経路は4通りであり，通る確率は1/5．
(2,0),(1,1),(0,2)のうち電灯が消えた部屋は，確率1/5で0個，確率4/5で2個．
(3,1),(2,2),(1,3)についても同様．
・(2,1)を通る経路は9通りであり，通る確率は9/20．
(3,0),(2,1),(1,2),(0,3)のうち電灯が消えた部屋は，
確率9/20で0個，確率11/20で2個．

以上より，求める平均部屋数は，
2+1+1+2*(4/5)*2+2*(11/20)=83/10.

*これは...わたしゃ絶対間違える自信ありまっさ ^^;...Orz...