17625：幾何...２題...^^;

エビプリ天津飯...☆ ここ(友家)は薄味でいいわ ^^

問題17625・・・水野先生のサイト「水の流れ」http://ryugen3.sakura.ne.jp/renzoku.html より Orz～

過去の数学オリンピックの問題です。一部改題してあります。

問題１　

３辺の長さがそれぞれＡＢ＝７，ＢＣ＝６，ＡＣ＝５の三角形ＡＢＣの辺ＢＣ上に点Ｐをとり、Ｐより２辺ＡＢ、ＡＣへ下ろした垂線の足をそれぞれＭ，Ｎとする。Ｍ，Ｎ間の距離を最小にするようなＰの位置をＰ_０としたときＢＰ_０の長さを求めよ。また、そのときのＭ，Ｎ間の距離を求めよ。

問題２

　三角形ＡＢＣで∠Ａ＝６０°、∠Ｂ＝２０°、ＡＢ＝１のとき、

(１／ＡＣ)－ＢＣの値を求めよ。

解答

*気づけなかったわ...^^;

・上記サイトより Orz～

・二度漬け白菜様のもの Orz～

四角形AMPN において，∠M=∠N=90°であるので，
四角形AMPNは円に内接する．その円をDとする．
線分APはDの直径である．線分APの中点をEとする．

三角形EMNに余弦定理を適用して，
MN^2=EM^2+EN^2-2*EM*EN*cos(∠MEN) ---(☆)

ここで，
EM=EN=EA=(1/2)*AP，
cos(∠MEN)
=cos(2*∠MAN)
=2*(cos(∠MAN))^2 - 1
=2*((7^2+5^2-6^2)/(2*7*5))^2 - 1
=-503/1225
であるので，これらを(☆)に代入して，

MN^2=(864/1225)*AP^2．

よって，
MNが最小 ⇔ APが最小
である．

Aから辺BCに下ろした垂線の足をHとする．
APが最小となるのは，PがHに一致するときである．
AB^2-BH^2=AC^2-(6-BH)^2 より，
BH=(AB^2-AC^2+36)/12=5．
また，AH^2=AB^2-BH^2=24．

以上より，< br>BP_0 = BH = 5 (答)
MNの最小値は，(864/1225)^(1/2)*AH = 144/35 (答)

・早起きのおじさん様のもの Orz～

アットランダム≒ブリコラージュ