17633：角行(かくぎょう)...クイズ ^^

問題17633・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38719651.html#38719651 より Orz〜

　将棋の角行は斜めにいくらでも動ける駒です。

　図のように、縦５マス，横８マスの将棋盤の１ヶ所に角行を置くときの動ける場所の数は、

　角行を置く場所によって異なりますが、各マスに動ける場所の数を書くと 総和は 240 です。

　では、総和が 9944 になるときの 将棋盤の縦横のマスの数は？

　何通りか考えられますが、縦が横より少なく マスの数が 1000以下のものを求めてください。

(*飛車角としか呼んだことなかったですが...「飛車」に対応する言葉が「角行」　だったんですね☆)

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38728659.html より Orz〜

　将棋盤の縦をｍマス，横をｎマス (m＜n) とします。

　斜めへの移動のうち、左斜め前への移動は、動ける場所の数を書き込み、和を求めると、

　(m−1)(n−1)＋(m−2)(n−2)＋(m−3)(n−3)＋……＋1･(n−m＋1) で、

　(m−k)(n−k)＝mn−(m＋n)k＋k² を k＝1，2，3，……，m−1 として加えたもので、

　mn(m−1)−(m＋n)(m−1)m/2＋(m−1)m(2m−1)/6＝m(m−1)｛n−(m＋n)/2＋(2m−1)/6｝

　 ＝m(m−1)(3n−m−1)/6 、

　右斜め前，左斜め後，右斜め後 も同じです。( 動ける場所の数は 2m(m−1)(3n−m−1)/3 です。)

　m(m−1)(3n−m−1)/6＝9944/4＝2486 ですので、

　m(m−1)(3n−m−1)＝2486･6＝2²･3･1243＝2²･3･11･113 、

　3n−m−1＝2²･3･11･113/｛m(m−1)｝ 、3n＝m＋1＋2²･3･11･113/｛m(m−1)｝ ですので、

　m＝2，3，4，12 、(m，n)＝(2，2487)，(3，830)，(4，416)，(12，42) 、

　このうち、mn＜1000 となるのは、(m，n)＝(12，42) だけで、縦12マス，横42マスです。

*多分同じことだと思いますが...^^

縦：x,横：k+x-1
2*(x^2*k+2*(1^2+2^2+...+(x-1)^2)-2*x(k+x-1)=9944

x(x-1)(3k+2x-4)=14916
x=12,3k+20=113...k=31
so..横=31+11=42
so...(縦,横)=(12,42) 

[スモークマン]

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