17645：場合の数...小さい正三角形でできた正六角形を２色で塗り分ける...

問題17645・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/puzzle/ より 引用 Orz〜

同じ大きさの白と黒の正三角形の板がたくさん あります。

図のように白い板を２４枚すきまなく並べて正六角形を作ります。 

次に、２４枚のうち何枚かを黒い板と取りかえます。 

このとき、正六角形の模様は何通り作れますか。 

ただし、回転させて同じになるものは同じ模様とみなします。

また、正六角形を 裏返すことはしません。

（１）２４枚のうち１枚を取りかえたとき 

（２）２４枚のうち２枚を取りかえたとき

（２０１８年　桜蔭 中学）

解答

・わたしの...

(1)

小さい6角形で...4カ所変えられる...4通り

(2)

1枚の中...4C2=6

6枚から2枚の選び方...3通り

so...3*4^2=48

so...合計=6+48=54通り

ちなみに...

すべて異なるパターンは...

4個でできる正三角形6個が並んでできてる...

2^4=16パターン

6個すべて異なる...5!*16*15*14*13*12

2個同じ...3*4!*16*15*14*13*12

3個同じ...3*3!*16*15*14*13

4個同じ...3*2!*16*15*14

5個同じ...1*16*15

計=5!*16*15*14*13*12+3*4!*16*15*14*13*12+3*3!*16*15*14*13+3*2!*16*15*14+1*16*15

   =101445360 通り...かな？

↑

嘘でしたわ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

正六角形を，6つの正三角形(一辺は2)に分け，

下側のものから反時計回りに順にA,B,C,D,E,Fと名付けます．
Aを構成する4つの小正三角形で，上を1とし，下を左から順に2,3,4とします．
B〜Fでも，正六角形の中心のまわりにAを回転して場合の対応で，
1〜4を名付けます．

・同じ番号の正三角形を2つ選ぶ場合，番号の選び方が4通りあり，
A〜Fから2つ選ぶ選び方は「オルト，メタ，パラ」の3通りで，
結局4*3=12(通り)．
・違う番号の正三角形を2つ選ぶ場合，番号の選び方が4C2=6(通り)ある．
小さい番号の正三角形をAに固定して，大きい番号の正三角形はA〜Fの6通りで，
結局6*6=36(通り)．

ということで，全部で48通りだと思います．

*(2)は、1辺2の正三角形1個の中の2枚を変える場合と、1辺2の正方形2個を選んで、その中の1枚を変える場合で考えてみましたのですが...^^;.

・鍵コメT様からのもの Orz〜

正六角形を正三角形6つ(大三角形と称する)に分けて，選ばれる小三角形2つが，
同じ大三角形に属するかそうでないかで分類したわけですね．

すると，同じ大三角形には属さないパターン数は，3*4^2よりは少なくなります．

問題が生じるのは，オルト，メタ，パラのうちの「パラ」の場合であり，
(私の前コメントのように，小三角形をA1〜4，B1〜4などと呼ぶとして，)
例えば「A1,D2」と「A2,D1」は同じパターンなので，両方数えてはダメです．
Ax,Dy (x≠y)となるもの4*3=12(通り)について，
同じパターンを2回ずつ数えたことになっていて，
この12通りは実際には12/2=6(通り)のパターンしか含まず，
正しい結論は，54-(12-6)=48(通り)となります．

大三角形2個を選んだ時，
「それぞれの中の1枚の選び方は異なることが必要」ではありません．
例えば，「A1とB1」といった選び方は何も問題はありませんね．

*そうなると...

6+3*4^2=54 になりませんでしょうかしらん...?

「A1D2」と「A2D1」は同じパターンです．
(図を書いてみてもらえばお分かりいただけるはずです．)
つまり，「6+3*4^2」では，
同じパターンを複数回数えているケースがありますね．

*合点です ^^;v

*https://benesse.jp/teikitest/kou/science/chemistry/k00606.html より 引用 Orz〜

[スモークマン]

＞2:25amの鍵コメT様へ ^^
(2)は、1辺2の正三角形1個の中の2枚を変える場合と、1辺2の正方形2個を選んで、その中の1枚を変える場合で考えてみましたのですが...^^;...Orz...

で、24枚全てにおいて異なる塗り方(回転して同じものは1つ)を考えてみました...^^;;...

[スモークマン]

＞11:29pmの鍵コメT様へ ^^
そのように考えました ^^
で...
大三角形1個から2枚の選び方=4C2=6
大三角形2個の選び方は3通り、それぞれの中の1枚の選び方は異なることが必要なので...3*4*3=36
so...6+36=42通りになりませんかしら ^^;...?

[スモークマン]

＞0:25の鍵コメT様へ ^^
そっか...^^;
そうなると...
6+3*4^2=54 になりませんでしょうかしらん...?
よく理解できてないわたしです...^^; Orz〜

[スモークマン]

＞3:42amの鍵コメT様へ ^^
そっか...^^;
長々と申し訳ありませんでした Orz〜
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v