17696：整数方程式...

問題17696(友人問)

2*x^2*y^2+y^2=26x^2+1201 を満たす正の整数の組(x,y)を全て求めよ。

解答

・わたしの...

2x^2*y^2+y^2-26x^2=1201・・・yは奇数

2x^2*(y^2-13)+y^2=1201

2x^2*(y^2-13)+(y^2-13)=1201-13=1188=2^2*3^3*11

(2x^2+1)(y^2-13)=2^2*3^3*11

2x^2+1は奇数,y^2-13=偶数

so...

y^2-13>=12, 2x^2+1>=3

so...

2x^2+1=3,3^2,(3^3),(11),3*11,3^2*11,(3^3*11)

   y^2-13=(2^2*3^2*11),(2^2*3*11),2^2*3^2,2^2*3

x^2=1,4,16,49

y^2=X,X,49,25

so...

(x,y)=(4,7),(7,5)

^^