17721：証明...x,yは互いに素な正整数,xy≠1,x^(2m)+y^(2m)はx+yを約数に持たない...

問題17721(友人問)

xとyは互いに素な正整数で、xy≠1とし、nは正の偶数とする。

このとき、x+y は x^n+y^n の約数ではないことを証明せよ。

解答

・わたしの...

x^(2k)+y^(2k)

=(x^k+y^k)^2-2(xy)^k

x^2+y^2=(x+y)^2-2xy なので、右辺はx+yと2xyとは互いに素なので、x^2+y^2は x+yを約数に持たない...(xy≠1なので、x+y≠2)

so...

kが偶数のとき、帰納的にx^(2^m)+y^(2^m)はx+yを約数に持たない

kが奇数のとき...x^(2m+1)+y^(2m+1)は...x+yを約数に持つが、

2*(xy)^(2m+1)とx+yとは互いに素なので...右辺はx+yを約数に持てない...

これですべてなので、QED

ってなことでいいのかな？

↑

今回でなんと３回目になる問題でしたのね ^^;

にも関わらず...今回も間違ってる...二度あることは三度あるってか...?...^^;;;

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

「x+yと2xyとは互いに素」が不成立です．
(例: x=3,y=5のとき，x+y=8，2xy=30で，最大公約数は2です．)

問題14846(https://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/folder/931624.html?m=lc&sv=14846&sk=0)です．

さらに検索してみると，
問題500(https://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/folder/931624.html?m=lc&sk=1&sv=%CC%E4%C2%EA500&p=3)でuchinyanさんが提示されている証明も同じ趣旨でした．

*ご両者同じ式変形からの帰納法ですね ^^

そのような式変形にすればいいという発想が数覚なのですよね ^^;v

・友人から届いたもの ...

*鮮やかですね ^^

[スモークマン]

＞11:31pmの鍵コメT様へ ^^
なんと同じ問題を友人から送付されてたことになりますか...^^;
友人もわたしに負けずおとぼけのようで...?
問題14846,問題500と今回で3回目のお出まし問でしたのに...
難しいものです...^^;;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v
uchinyanさん...お懐かしいお名前です...
お元気でいらっしゃいますか！！
わたしゃ、相変わらずすったもんだのままだねぇと笑って見てくださってるだけでも嬉しいでっせ♪

[スモークマン]

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友人から届いたものをアップしました ^^