17723：z=cos(2π/n)+isin(2π/n)、nを2以上の自然数とするとき、 (1-z)(1-z^2)(1-z^3)・・・(1-z^(n-1))=?...

問題17723・・・出会いの泉より https://6626.teacup.com/shochandas/bbs? よおすけ様紹介問 Orz〜

[1] z=cos(2π/n)+isin(2π/n)、nを2以上の自然数とするとき、
(1-z)(1-z^2)(1-z^3)・・・(1-z^(n-1))
を示せ。ただし、iは虚数単位とする。

(2002年 北海道大学理系 問題4改題)

[2] 複素数z=cos(2π/2018)+isin(2π/2018)について、次の式の値を求めなさい。ただし、iは虚数単位を表します。

(1)(1-z)(1-z^2)(1-z^3)・・・(1-z^2016)(1-z^2017)
(2)1/(1-z)+1/(1-z^2)+1/(1-z^3)・・+1/(1-z^2016)+1/(1-z^2017)

(第327回 実用数学技能検定1級1次 問題2)

解答

・わたしの...

[1]

展開式は、すべて対称式になり...

z^n-1=0 の係数から考えて...

与式=1-z*z^2*...*z^(n-1)*1

nが偶数のとき...与式=2

nが奇数のとき...与式=0

[2]

(1)[1]のn=偶数のときなので...2

(2)1-z,1-z^2,...,1-z^2017の2017個の根を持つt^2017-2=0 の根

so...1-2/t^2017=0

1/t^2017-1/2=0の根が、1/(1-z), 1/(1-z^2),...,1/(1-z^2017) なので...

根と係数の関係から...与式=0

でいいのかな ^^

↑

目茶でした ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのスマートな解法 Orz〜

[1] 通常，「…を示せ」は証明問題に使われる文言ですが，
この問題では式が書かれているだけなので，「…を求めよ」が自然ですね．

n-1個の複素数z,z^2,z^3,…,z^(n-1)は，どれもn次方程式t^n-1=0の解です．
残る1つの解はt=1であり，
t^n-1=(t-1)(t-z)(t-z^2)…(t-z^(n-1))
が成り立ちます，
一方，t^n-1=(t-1)(1+t+t^2+…+t^(n-1))だから，
(t-z)(t-z^2)…(t-z^(n-1))=1+t+t^2+…+t^(n-1)が恒等式です．
t=1を代入して，(与式)=nですね．

[2]
(1) [1]のn=2018の場合だから，(与式)=2018.
(2) z^2018=1に注意して，
1/(1-z^k)+1/(1-z^(2018-k))=1/(1-z^k)+1/(1-1/z^k)
=1/(1-z^k)+(z^k)/(z^k-1)
=1/(1-z^k)-(z^k)/(1-z^k)
=(1-z^k)/(1-z^k)=1です．
つまり，題意の和をSとして，
逆順にして足すと，2S=1+1+…+1(2017個)=2017となり，
S=2017/2です．

*見事なものですねぇ☆

最近、自分ながらあまりのいい加減さに嫌になってきてますだ...^^;;...

[スモークマン]

＞1:04amの鍵コメT様へ ^^
あちゃぁ!!
見事な解法ですねぇ ^^;♪
わたしの展開式では根の1がないから明らかにおかしかったのでしたわ ^^;;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v