17724：最大値と整数解...

問題17724・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38741806.html#38741806 より Orz～

(1) x²＋y²＋z²＝14² を満たす実数 x，y，z について、6x＋2y＋3z の最大値は？

(2) x²＋y²＋z²＝14² ，x＋3y＋2z＝12 を満たす整数の組(x，y，z)＝？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38750281.html より Orz～

(1) コーシー･シュワルツの不等式より、(6²＋2²＋3²)(x²＋y²＋z²)≧(6x＋2y＋3z)² 、

　7²･14²≧(6x＋2y＋3z)² 、－7･14≦6x＋2y＋3z≦7･14 、－98≦6x＋2y＋3z≦98 です。

　ここで、6x＋2y＋3z＝98 となるのは、x：y：z＝6：2：3 のときであるので、

　x＝6k，y＝2k，z＝3k とおけば、6･6k＋2･2k＋3･3k＝98 、49k＝98 、k＝2 となり、

　x＝12，y＝4，z＝6 のとき 6x＋2y＋3z は最大値 98 をとります。

(2) (偶数)²≡0 ，(奇数)²≡1 (mod 4) ，|x|²＋|y|²＋|z|²＝14²≡0 (mod 4) だから、

　x，y，z はすべて偶数で、|x/2|²＋|y/2|²＋|z/2|＝7²≡1 (mod 4) 、

　よって、|x/2|，|y/2|，|z/2| の１つは奇数で他２つは偶数です。

　|x/2| が奇数で、|y/2|，|z/2| が偶数で、|y/2|≧|z/2| の場合、

　 |y/2|²＋|z/2|＝7²－|x/2|² 、|y/4|²＋|z/4|＝(7²－|x/2|²)/4 、

　 |x/2|＝7 のとき |y/4|²＋|z/4|＝0 、|y/4|＝0，|z/4|＝0 、(|x|，|y|，|z|)＝(14，0，0) 、

　 |x/2|＝5 のとき |y/4|²＋|z/4|＝6 、これを満たす |y/4|，|z/4| は存在せず、

　 |x/2|＝3 のとき |y/4|²＋|z/4|＝10 、|y/4|＝3，|z/4|＝1 、(|x|，|y|，|z|)＝(6，12，4) 、

　 |x/2|＝1 のとき |y/4|²＋|z/4|＝12 、これを満たす |y/4|，|z/4| は存在しません。

　他の場合も同様で、(|x|，|y|，|z|)＝(14，0，0)，(0，14，0)，(0，0，14)，

　　(6，12，4)，(6，4，12)，(12，6，4)，(12，4，6)，(4，12，6)，(4，6，12) です。

　x＋3y＋2z＝12 は x/12＋y/4＋z/6＝1 と変形できて、

　左辺が整数になるのは、(|x|，|y|，|z|)＝(12，4，6) のときのみで、

　(x，y，z)＝(－12，4，6)，(12，－4，6)，(12，4，－6) です。

*[1]は球と平面との距離から...[2]はちと悩みましたでござる...^^;

(1)は原点から平面までの距離なので...
6x＋2y＋3z=k
|k|=√(6^2+2^2+3^2)=14
|k|=14*7=98
so...Max{6x+2y+3z}=98

(2)これなかなかわからず...
平方数はmod 4で0 or 1なので...
14^2≡0
so...x^2≡y^2≡z^2≡0 しかない...
x^2+y^2+z^2=14^2
いずれも、x^2<=14^2/3=196/3=65.3...

8以下の偶数で探す...^^;
y^2+z^2=14^2-8^2=22*6=132=4*34...偶数の平方の和なし
y^2+z^2=14^2-6^2=20*8=160=4*40=2^2*(6^2+2^2)
y^2+z^2=14^2-4^2=18*10=180=4*45=2^2*(6^2+3^2)は偶数の平方和でない
y^2+z^2=14^2-2^2=16*12=4*48...偶数の平方和なし
y^2+z^2=14^2=4*49...偶数の平方和にならない
so...±6,±12,±4で、x＋3y＋2z＝12を満たすものを探す...^^;;
(x,y,z)=(12,-4,6),(12,4,-6),(-12,4,6) ♪
わたしにゃ大変 ^^;;...