17756：平方数...8n+81が平方数になる自然数n, 86番目のnと86番目までのnの和は？

問題17756・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38747509.html#38747509 より Orz～

　n＝5 のとき 8n＋81＝121 ，n＝11 のとき 8n＋81＝169 です。

　n＝5，11 のように 8n＋81 を計算すると平方数になるような自然数を小さいものから、

　5，11，…… と並べるとき、86番目の自然数は？　また、86番目までの和は？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38756061.html#38756061 より Orz～

　8n＋81＝N² (N＞9)とすれば、8n＝(N－9)(N＋9) で、

　N－9 が奇数であれば N＋9 も奇数で成り立ちません。

　従って、N－9 は偶数で、N－9＝2k (ｋは自然数)と表すことができて、

　8n＝(N－9)(N＋9)＝2k(2k＋18) 、n＝k(k＋9)/2 になります。

　このとき、k，k＋9 の片方は偶数になりますので、n は必ず自然数になります。

　86番目は k＝86 のときで、n＝86･95/2＝4085 です。

　また、n＝k(k＋9)/2＝k²/2＋9k/2 だから、86番目までの和は

　(1²＋2²＋3²＋……＋86²)/2＋9(1＋2＋3＋……＋86)/2

　＝86･87･173/6/2＋9･86･87/2/2＝86･87･(173＋27)/12＝86･87･200/12＝43･29･100＝124700 です。

*上記解法に比べたら鈍臭かったですが...^^;

平方数=(4t±1)^2=m^2
8n=(4t±1)^2-9^2=(4t+10)(4t-8) or (4t-10)(4t+8)
so...
n=(2t+5)(t-2)=2t^2+t-10 or (2t-5)(t+2)=2t^2-t-10
8(2t^2+t-10)+81=16t^2+8t+1=(4t+1)^2・・・t>=3
8(2t^2-t-10)+81=16t^2-8t+1=(4t-1)^2・・・t>=3
so...86番目は...(86+4)/2=45=t...4*45+1=181・・・と、86番目の平方数を求めてました...^^;

n(86)=2*45^2+45-10=4085でしたわ ^^;;

86番目までの和
=Σ[t=3～45](4t^2-20)
=(4/6)(45*46*91-2*3*5)-20*43
=124700