17789：ナイトの動き...🐴

問題17789・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38751937.html#38751937 より Orz〜

　チェスのナイトは前の斜め前，後ろの斜め後ろ，右の斜め右，左の斜め左に動ける駒です。

　n×n のチェス盤の１ヶ所にナイトを置くときの動ける場所の数は、

　ナイトを置く場所によって異なりますが、その総和を K(n) とします。

　例えば、8×8 の盤では、図のように、緑の所では２ヶ所，黄の所では６ヶ所，青の所では８ヶ所，

　赤の所では３ヶ所、すべてを調べれば、K(8)＝336 であることが分かります。

　では、K(m)−K(n)＝10000 を満たす自然数の組(m，n)のうち、m−n が最大の組について、

　K(n)＝？　また、K(m＋2)＝？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38760324.html より Orz〜

　K(1)＝0 ，K(2)＝0 ，K(3)＝8 で、n≧4 のとき、

　右図のように、n×n の盤に、動ける場所の数を書き込み、和を求めると、

　K(n)＝2･4＋3･8＋4･4＋4･4(n−4)＋6･4(n−4)＋8(n−4)²＝48＋40(n−4)＋8(n−4)²

　 ＝8｛(n−4)²＋5(n−4)＋6｝＝8(n−4＋3)(n−4＋2)＝8(n−1)(n−2) です。

　K(n)＝8(n−1)(n−2) は、n＝1，2，3 のときも成り立ちます。

　K(m)−K(n)＝10000 より、8(m−1)(m−2)−8(n−1)(n−2)＝10000 、

　(m−1)(m−2)−(n−1)(n−2)＝1250 、(m−1)(m−2)≧1250 、

　35･34＝1190 ，36･35＝1260 だから、m≧37 、(m−1)(m−2)≧1260 、

　よって、(n−1)(n−2)≧10 、n≧4 です。

　また、(m−1)(m−2)−(n−1)(n−2)＝1250 より、m²−3m−n²＋3n＝1250 、

　(m＋n)(m−n)−3(m−n)＝1250 、(m＋n−3)(m−n)＝1250 、

　ここで、(m＋n−3)−(m−n)＝2n−3≧5 なので、

　(m＋n−3，m−n)＝(1250，1)，(625，2)，(250，5)，(125，10)，(50，25) 、

　このうち、m−n が最大であるのは、(m＋n−3，m−n)＝(50，25) 、(m，n)＝(39，14) です。

　K(n)＝K(14)＝8･13･12＝1248 ，K(m＋2)＝K(41)＝8･40･39＝12480 です。


[参考] たけちゃんさんのコメントより

　移動方向を固定するとき，それぞれ 黄色のマス目にナイトがあるときです．

　それぞれの方向へ移動できるマス目は，n×n のチェス盤では (n−2)(n−1)個，

　全部で 8(n−2)(n−1)個となります．

*式を立てたものの手計算では途方に暮れて...PCにお願い申し上げました ^^;

たけちゃんさん様の視点は斬新ね ^^♪

n=1〜4の場合は解なし
so…どちらも、2*4+3*8+4*4+4*(x-4)*4+6*(x-4)*4+8*(x-4)^2
で考える…
40*(x-4)+(x-4)^2*8-40(y-4)-(y-4)^2*8=10000
x=39,y=14
K(n)=K(14)=4*2+8*3+4*4+40(14-4)+(14-4)^2*8=1248 
K(m+2)=K(41)=8+24+16+40(41-4)+(41-4)^2*8=12480

[スモークマン]

＞鍵コメ様へ ^^
今が旬の女優さんのようですねぇ☆
かぐや姫だから...求愛された時も無理難題を課すんだろうかしらん...^^
でも、結局はお月様に戻っちゃうんだから...参っちゃいますね ^^;v Orz〜

[スモークマン]

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