17815：余り^2の余り...基本 ^^

問題17815(アナロジー問)

ある3桁の整数を7、8、9で割った余りの2乗をそれぞれもう一度割った余りは

いずれも1となった。考えられるこの3桁の整数のそれぞれの位の和はいくらか。

解答

・わたしの...

余りが...

(1) 1,1,1

(2) 1,1,-1

(3) 1,-1,1

(4) -1,1,1

(5) -1,-1,1

(6) -1,1,-1

(7) 1,-1,-1

(8) -1,-1,-1

(1)

n-1≡7*8*9...n=504+1=505

(2)

n-1=7*8m

n+1=9k

56m+2=9k

k=6m+(2m+2)/9...m=8,17...k=48+2=50, k=104+4=106...n=449,953

(3)

n-1=7*9m

n+1=8k

63m+2=8k

k=7m+(7m+2)/8...m=2,10,18...k=14+2=16, k=70+9=79...n=127,631

(4)

n-1=8*9m

n+1=7k

72m+2=7k

k=10k+(2m+2)/7...m=6,13,19...k=60+2=62,k=130+4=134...n=433,937

(5)

n+1=7*8m

n-1=9k

56m-2=9k

k=6m+(2m-2)/9...m=10,19...k=60+2=62,k=114+4=118...n=553

(6)

n+1=7*9m

n-1=8k

63m-2=8k

k=7m+(7m-2)/8...m=6,14,...k=42+5=47,k=98+12=110...n=377,881

(7)

n+1=8*9m

n-1=7k

72m-2=7k

k=10m+(2m-2)/7...m=8,15,...k=80+2=82...n=575

(8)

n+1=7*8*9=504...n=503

so...

505・・・5+0+5=10

449・・・4+4+9=17

937・・・9+3+7=19

553・・・5+5+3=13

377・・・3+7+7=17

881・・・8+8+1=17

575・・・5+7+5=17

503・・・5+0+3=8

計算合ってればこうなりますよね ^^

面倒なだけだったか...^^; Orz...

・鍵コメT様からのスマートなる解法 Orz〜☆

8で割った余りが3や5のときも，
それを2乗したものをもう一度割った余りは1です．
(というか，任意の奇数は，2乗を8で割ると1余ります．)

・・・(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1≡1 (mod 8) ^^;v

「xをnで割った余り」を2乗して，さらにnで割って余りを求めるのは，
実はx^2をnで割った余りを求めるのと同じことです．

・・・(nk+r)^2≡r^2 (mod n)...^^;v

x^2-1が7,9の公倍数かつ『xが』奇数となればよく，
xを63で割った余りは1,8,55,62のいずれかで，奇数であることも考慮して，
x=126k+1,126k+71,126k+55,126k+125.

・・・ここの3行がよくわかりませんですばい ^^;;...

x^2-1=(x+1)(x-1)であり，
x+1,x-1は差が2だから，2以外の公約数は持ちません．
x-1が7,9の公倍数のとき，xは63で割って1余り，
x-1が7の倍数でx+1が9の倍数のとき，xは63で割って8余り，
x-1が9の倍数でx+1が7の倍数のとき，xは63で割って55余り，
x+1が7,9の公倍数のとき，xは63で割って62余ります．

*そこはかとなく了解ぃ〜^^;v

3桁だから，
126k+1型が，127,253,379,505,631,757,883，
126k+71型が，197,323,449,575,701,827,953，
126k+55型が，181,307,433,559,685,811,937，
126k+125型が，125,251,377,503,629,755,881
の28個があり，数字の和は10,19,17,8の4通りです．
(個数の割りに数字の和の種類が少ないのは，

xを9で割った余りが1か8に限定されるからです．)・・・なるほど合点 ^^v

[スモークマン]

＞10:33pmの鍵コメT様へ ^^
うへっ!!
こんなにスマートに解けますのんねぇ☆
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v

[スモークマン]

＞11:29pmの鍵コメT様へ ^^
解説いただきグラッチェでっす♪
追加紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v