17866：旧跡...レモン型の10角形...^^

問題17866・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38761743.html#38761743 より Orz～

　辺の長さがすべて等しく、向かい合う２個の内角が 120ﾟ，他の８個の内角が 150ﾟであり、

　150ﾟの角をはさむ２辺の端点の距離が 25 である、図のような十角形の面積は？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/folder/102900.html より Orz～

[解答1]

　右上図のように、もとの十角形の辺と等しい辺をもつ正十二角形は、半径が 25 の円に内接し、

　もとの十角形を二等分して埋め込むと、等辺が 25 で頂角が 30ﾟの二等辺三角形２個と、

　等辺が 25 で頂角が 150ﾟの二等辺三角形２個分の隙間ができます。

　この２種類の二等辺三角形は面積が等しく、正十二角形は 12個分の面積ですので、

　求める十角形の面積は８個分の面積で、8･25･(25/2)/2＝2･25²＝1250 です。

[解答2]

　もとの十角形の辺と等しい辺をもつ正方形の面積を S，正三角形の面積を T とすれば、

　右下図のように、半径が 25 の円に内接する正十二角形の面積は、

　6S＋12T＝12･25･(25/2)/2＝3･25² になり、

　十角形の面積は 4S＋8T＝2(6S＋12T)/3＝2･3･25²/3＝2･25²＝1250 です。

*素敵な解法ねぇ♪

わたしゃ...エレファントに...^^;

1辺(台形の上の辺)=x,台形の底辺=y
トレミーの定理から...
x^2+xy=x(x+y)=25^2
余弦定理から...
2*x^2(1+√3/2)=25^2...x^2=25^2/(2+√3)=25^2*(2-√3)
y=x*(1+√3)

全体の面積

=台形2個+両端の△+内部の長方形
=(x/2)(x+y)+√3x*(1/2)x+√3*x*y
=x(x+y)/2+(√3/2)x^2+√3*x^2*(1+√3)
=25^2/2+x^2*(3√3/2+3)
=25^2/2+25^2*(2-√3)*(3√3/2+3)
=25^2*(1/2+6-9/2)
=25^2*2
=1250