17891：旧跡...展開図(ひし形)からできる六面体...

問題17891・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38767339.html#38767339 より Orz～

　図のような、１辺が 5 の菱形６枚でできる展開図をもつ六面体の体積は？

　なお、図に示すように、展開図の幅は 7√6 とします。

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38776596.html より引用 Orz～

[解答1]

　右図の展開図の緑の部分は底面の１辺が 2√6 の正三角形である正三角錐の側面になり、

　１辺が 2√6 の正三角形の重心と頂点の距離は (2√6)/√3＝2√2 ですので、

　高さは √(5²－8)＝√17 です。

　底面積は (√3)(2√6)²/4＝6√3 ですので、

　体積は (1/3)(6√3)(√17)＝2√51 です。

　求める六面体の菱形の１つの面を底面とする斜角柱と考え、

　正三角錐の側面の１つを底面として比較すれば、

　六面体は三角錐に比べ底面が２倍で高さが等しい角柱であり、体積は６倍の 12√51 です。

[解答2]

　幅の 7√6 はそのままで、菱形の１辺の長さを x ，六面体の体積を V(x) とします。

　右図の展開図の緑の部分は底面の１辺が 2√6 の正三角形である正三角錐の側面になり、

　１辺が 2√6 の正三角形の重心と頂点の距離は (2√6)/√3＝2√2 ですので、

　高さは √(x²－8) 、V(x)は高さに比例し、V(x)＝k√(x²－8) と表せます。

　x＝2√3 のとき六面体は１辺が 2√3 である立方体になり、

　V(2√3)＝2k＝(2√3)³ だから、k＝12√3 であり、

　V(x)＝(12√3)√(x²－8) 、V(5)＝(12√3)√(5²－8)＝12√51 です。

*立体を真ん中でまっすぐ切って、両端をくっつけて考えてみました ^^

真ん中で切断してできるひし形の面積*5
2*25*(2√114/25)^2*(1-cosθ)=24
cosθ=13/38
sinθ=5√51/38
so...
真ん中のひし形の面積
=(1-13^2/38^2)^(1/2)*(25*4*114/25^2)
=12√51/5
so...
求める体積=12√51