17981：足しても掛けても同じ数になる5つの数は？

問題17981・・・http://gascon.cocolog-nifty.com/blog/2010/09/198-92dc.html より引用 Orz～

足しても掛けても同じ数になる５つの正の整数と、その数を答えなさい。

解答

・わたしの...

2^3=8=2+2+2+1+1

3^2=9=3+3+1+1+1

ちなみに...複素数まで広げると...

i*(-i)=1

so...

i+(-i)+i+(-i)+1

なんてのもありますね ^^

↑

まだあるのでした ^^;

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～☆

1+1+2+2+2=1*1*2*2*2=8
1+1+1+3+3=1*1*1*3*3=9
以外に
1+1+1+2+5=1*1*1*2*5=10
があり，正の整数だけからなる解は以上3つですべてです．

解法はいろいろ考えられますが，次の方法は有力です．

a+b+c+d+e=abcdeから，
1/(bcde)+1/(acde)+1/(abde)+1/(abce)+1/(abcd)=1であり，
5つの分数のうちの最大数は1/5以上，
よって，4数の積で5以下のものがあります．
すべてを5にはできないので，4数の積で4以下のものがあることになり，
abcd≦4としてよく，
1*1*1*1 (4+e=eより不適)，
1*1*1*2 (5+e=2eよりe=5)，
1*1*1*3 (6+e=3eよりe=3)，
1*1*1*4 (7+e=4eより不適)
1*1*2*2 (6+e=4eよりe=2)
となって，上記の3解を得ます．

なお，整数の範囲でも，正に限定しないのであれば，
-1,-1,1,1,x (xは任意の整数)
0,a,b,c,d (a,b,c,dは和が0となる任意の整数の組)
など，無数の解があります．
もちろん，正の解を元にした
「-1,-1,-2,-2,-2」，「-1,-1,-1,-3,-3」，「-1,-1,-1,-2,-5」
も解です．