18020：旧跡...曲線の回転体積...

問題18020・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38792001.html#38792001 より Orz～

　曲線 x＝(3＋cosθ)cosθ ，y＝(3＋cosθ)sinθ (0≦θ≦π) をｘ軸の周りに回転してできる

　閉曲面で囲まれる部分の体積を V とするとき、V＝?

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38800708.html より Orz～

[解答1]

　V＝π∫_-2⁴ y² dx です。

　dx/dθ＝－sinθcosθ＋(3＋cosθ)(－sinθ)＝(3＋2cosθ)(－sinθ) だから、

　V＝π∫_π⁰ (3＋cosθ)²sin²θ(3＋2cosθ)(－sinθ)dθ 、

　cosθ＝t とおけば、(－sinθ)dθ＝dt ，θ＝π のとき t＝－1 ，θ＝0 のとき t＝1 になり、

　V＝π∫_-1¹ (3＋t)²(1－t²)(3＋2t) dt ＝π∫_-1¹ (－2t⁵－15t⁴－34t³－12t²＋36t＋27) dt

　＝2π∫₀¹ (－15t⁴－12t²＋27) dt ＝2π[－3t⁵－4t³＋27t]₀¹＝2π･20＝40π＝125．6637…… です。

[解答2]

　極座標で表せば、r＝3＋cosθ (0≦θ≦π) であり、始線の周りに回転してできる回転体の体積 V は、

　V＝(2π/3)∫₀^π r³sinθ dθ であり、

　dr＝－sinθdθ ，θ＝0 のとき r＝4 ，θ＝π のとき r＝2 になり、

　V＝(2π/3)∫₄² r³(－1) dr ＝－(2π/3)(1/4)[r⁴]₄²

　＝－(π/6)(2⁴－4⁴)＝－(π/6)(－240)＝40π＝125．6637…… です。

*よくわからないもので調べましたぁ...^^;

r^2=x^2+y^2=(3+cosθ)^2
天下り的に...Orz
(https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/73/73-7.pdf)
V=∫[θ=0～π](2/3)π*r^3*sinθ dθ
r=3+cosθ
V=(2/3)π∫[θ=0～π](3+cosθ)^3*sinθdθ
3+cosθ=u
V=(2/3)π∫[u=2～4]u^3*(-du)
=(2/3)π∫[u=4～2]u^3 du
=(2/3)π[u^4/4](u=4～2]
=(2/3)π(4^3-4)
=40π