18037：(n+1)(n+2)･･･(n+n-1)(n+n)/{1･3･5･････(2n-1)}=？

問題18037・・・出会いの泉 https://6626.teacup.com/shochandas/bbs? より Orz〜

(n+1)(n+2)･･･(n+n-1)(n+n)/{1･3･5･････(2n-1)}=？

解答

ピンときませんでした...^^;

*上記サイトより Orz〜

・testu様のもの Orz〜

(n+1)(n+2)(n+3)・・・(n+n-1)(n+n)＝(2n)!/n!

また、
1・3・5・・・(2n-1)＝1・2・3・・・2n/(2・4・6・・・2n)
＝(2n)!/(2^n・n!)

したがって、
(n+1)(n+2)(n+3)・・・(n+n-1)(n+n)/{1・3・5・・・(2n-1)}
＝(2n)!/n!÷{(2n)!/(2^n・n!)}
＝2^n

・DD++様のもの Orz〜

n+1 から 2n までの n 個の自然数を全て 2^k*奇数（kは0以上の整数）という形に書いたとき、
この奇数部分には 1 から 2n-1 までの n 個の奇数が1回ずつ出現する。
なぜなら、この表記で同じ奇数を用いるような2つの数は、それらの比が2倍以上でなければならないからである。
したがって、約分すればこの式の値は2の累乗数であり、分子が因数に 2 をいくつもつかを考えればよい。

(2n)! が因数に 2 をいくつ持つか考えると、偶数だけに注目すれば n! よりちょうど n 個多いことは明らか。
つまり、この式の分子は因数に 2 をちょうど n 個持つ。

よってこの式の値は 2^n である。

・らすかる様のもの Orz〜

(n+1)(n+2)･･･(n+n-1)(n+n)/{1･3･5･････(2n-1)}

A[1],A[2],A[3],…,A[n],B[1],B[2],B[3],…,B[n]の2n個の変数に
1〜2nの異なる自然数をあてはめることを考える。

A[1]＜A[2]＜A[3]＜…＜A[n]を満たすようにあてはめる場合の数は、
B[1]〜B[n]にあてはめるn個を決めてから残りのn個を
小さい順にA[1]〜A[n]に入れればよいので、分子に等しい。

A[1]＜A[2]＜A[3]＜…＜A[n]かつ
A[1]＜B[1],A[2]＜B[2],A[3]＜B[3],…,A[n]＜B[n]を満たすように
あてはめる場合の数は、A[1]=1としてB[1]が2n-1通り、
A[2]が残りの数で最小のもの、B[2]が2n-3通り、
A[3]が残りの数で最小のもの、B[3]が2n-5通り、
・・・
となるので、分母に等しい。

前者はA[k]＞B[k]（1≦k≦n）の場合も含み、各kに対して
場合の数が2倍となるので分子は分母の2^n倍、従って(与式)=2^n

もう少し簡単な考え方がありました。
1〜2nの数字が書かれたボールが1個ずつあり、2個ずつn組のペアを作ることを考える。
2n個から2個選び、残り2n-2個から2個選び、残り2n-4個から2個選び、・・・
のように考えて場合の数を求めると、n組の順番の分重複するので
{(2n)C2・(2n-2)C2・(2n-4)C2・…・2C2}/n!
=(n+1)(n+2)(n+3)…(2n-1)(2n)/2^n通り

*{(2n)C2・(2n-2)C2・(2n-4)C2・…・2C2}/n!
={(2n)!/{2!(2n-2)!}・(2n-2)!/{2!(2n-4)!}・(2n-4)!/{2!(2n-6)!}・
　…・{6!/(2!4!)}・{4!/(2!2!)}・{2!/(2!0!)}}/n!
={(2n)!/n!}/2^n
=(n+1)(n+2)(n+3)…(2n-1)(2n)/2^n
となりますね。

1とペアにするものは2n-1通り、残りのうち最小のものとペアにするものは2n-3通り、
その残りのうち最小のものとペアにするものは2n-5通り、・・・
のように考えて場合の数を求めると、
(2n-1)・(2n-3)・(2n-5)・…・3・1通り
従って(n+1)(n+2)(n+3)…(2n-1)(2n)/2^n=1・3・5・…・(2n-3)・(2n-1)なので
{(n+1)(n+2)(n+3)…(2n-1)(2n)}/{1・3・5・…・(2n-3)・(2n-1)}=2^n

*最初と最後がわかりやすいですね ^^♪

・鍵コメT様からのスマートな解法 Orz〜

次のような方法もあります．

n=kのときとn=k+1のときを比べると，
分子は，「k+1」がなくなり，「(k+k+1)(k+k+2)」が追加される．
分母は，「(2k+1)」が追加される．
結局，分数の値は
((2k+1)(2k+2)/(k+1))/(2k+1)=2(倍)となることがわかる．

n=1のとき，式は(1+1)/1=2なので，一般の自然数nに対して，
(与式)=2^n.

*なる!!

お気に入りぃ〜♪

[スモークマン]

＞0:04amの鍵コメT様へ ^^
なるほど!!
帰納法で鮮やかなものですねぇ☆
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v
元記事先に、「友人Tさんからのもの」として紹介させてもらってもいいでしょうかしらん？...Orz〜

[スモークマン]

＞12/21.11:06pmの鍵コメT様へ ^^
早速のご了解いただきグラッチェ〜m(_ _)m〜v
昨日は知らぬマニ白川夜船に乗ってました...^^;...