18070：四元連立方程式...^^;

問題18070・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38802087.html より Orz〜

　p＋q＝43 ，p/x＋q/y＝160 ，p/x²＋q/y²＝597 ，p/x³＋q/y³＝2228 のとき、

　px＋qy＝？　px²＋qy²＝？　px³＋qy³＝？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38810110.html より Orz〜

[解答1]

　(p＋q)(p/x²＋q/y²)−(p/x＋q/y)²＝43･597−160² 、pq(1/x−1/y)²＝71 になり、

　(p/x＋q/y)(p/x³＋q/y³)−(p/x²＋q/y²)²＝160･2228−593² 、pq(1/x−1/y)²/(xy)＝71 になり、

　(p＋q)(p/x³＋q/y³)−(p/x＋q/y)(p/x²＋q/y²)＝43･2228−160･597 、pq(1/x−1/y)²(x＋y)/(xy)＝284 、

　よって、x＋y＝4 ，xy＝1 で、x²＋y²＝(x＋y)²−2xy＝14 ，x³＋y³＝(x＋y)³−3xy(x＋y)＝52 です。

　また、xy＝1 より、p/x＋q/y＝160 ，p/x²＋q/y²＝597 ，p/x³＋q/y³＝2228 は

　分母を払うと、py＋qx＝160 ，py²＋qx²＝597 ，py³＋qx³＝2228 になります。

　px＋qy＝(p＋q)(x＋y)−(py＋qx)＝43･4−160＝12 、

　px²＋qy²＝(p＋q)(x²＋y²)−(py²＋qx²)＝43･14−597＝5 、

　px³＋qy³＝(p＋q)(x³＋y³)−(py³＋qx³)＝43･52−2228＝8 です。


[解答2]

　f(n)＝pxⁿ＋qyⁿ とおけば、

　f(0)＝43 ，f(−1)＝160 ，f(−2)＝597 ，f(−3)＝2228 で、f(1)，f(2)，f(3) を求めることになります。

　f(n＋2)−(x＋y)･f(n＋1)＝pxⁿ⁺²＋qyⁿ⁺²−(x＋y)(pxⁿ⁺¹＋qyⁿ⁺¹＝−pxⁿ⁺¹y−qxyⁿ⁺¹)＝−xy･f(n) 、

　f(n＋2)＝(x＋y)･f(n＋1)−xy･f(n) になります。

　n＝−3，−2 を代入して、f(−1)＝(x＋y)･f(−2)−xy･f(−3) ，f(0)＝(x＋y)･f(−1)−xy･f(−2) 、

　160＝597(x＋y)−2228xy ，43＝160(x＋y)−597xy 、これを解くと、x＋y＝4 ，xy＝1 ですので、

　f(n＋2)＝4･f(n＋1)−f(n) になります。

　n＝−1 を代入して、f(1)＝4･f(0)−f(−1)＝4･43−160＝12 、

　n＝0 を代入して、f(2)＝4･f(1)−f(0)＝4･12−43＝5 、

　n＝1 を代入して、f(3)＝4･f(2)−f(1)＝4･5−12＝8 になります。

*これは、気づけず...^^;

[解答2]のような発想は麗し☆

[スモークマン]

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