18079：平方数...

問題18079(今年最後の友人問)

m,nは正の整数で、2001m^2+m=2002n^2+n

をみたす。m-nは平方数であることを証明せよ。

解答

・わたしの...

これは簡単じゃ?

2001(m^2-n^2)+(m-n)=n^2

(m-n)(2001(m+n)+1)=n^2

so...

m-nは(nの約数)^2

□

↑

不完全 ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのご指摘 Orz～

意味がわかりません．
m-nと2001(m+n)+1の積は確かに平方数n^2ですが，
それは，m-nが平方数となる根拠にはならないと思います．

*確かに...例えば,3^4=3*3^3 とかありえる...^^;

・鍵コメT様からのヒント Orz～

「偶奇が違う2数の積」が平方数でも，それぞれが平方数とは限りませんが，
「互いに素な2数の積」が平方数であれば，それぞれが平方数となります．
m-nと2001(m+n)+1では互いに素である保証はないので，
別の組合せで，「積が平方数」となるものを探すとよいかと思います．
m-nがテーマなので，m-n=kなどとおくと考えやすいかもしれません．

・再考...^^

m-n,2001(m+n)+1の偶奇が異なることを使えばいいですね ^^
そうすれば...偶数の2乗と奇数の2乗西川蹴られないので、m-nも2001(m+n)+1のどちらも平方数にならざるを得ないと言えますよね ^^

・鍵コメT様からのもの Orz～

「m,nの最大公約数gが1でないとき，m-nと2001(m+n)+1は互いに素」
は不成立です．

例えば，12-2と2001(12+2)+1は，最大公約数は5です．

m-n=kとおく．
m=n+kを2001m^2+m=2002n^2+nに代入して，
2001(n+k)^2+n+k=2002n^2+n.
n^2-4002kn-2001k^2-k=0.
n=2001k±√((2001k)^2+2001k^2+k)
=2001k±√(k*(2001*2002k+1)).

このnが整数であることから，
k*(2001*2002k+1)は平方数．

kと2001*2002k+1は互いに素であるから，
kと2001*2002k+1はともに平方数である．

*なるほどぉ～☆

気づけませんでしたぁ...^^;

*実際に、具体例を調べてくださいました鍵コメT様に感謝ぁ～m(_ _)m～♪

　↓

k=4としたとき，
2001*2002*k+1=2001*2002*4+1=4003^2となって条件を満たします．
このとき，n=8004+2*4003=16010,m=n+k=16014となり，これは実際に解です．

PCで探したところ，次の解は，k=16012^2に対応するもので，
n=1026433904492,m=1026177520348
のようです．

・友人から届いたもの...^^