18088：求長...とある直角三角形の斜辺長...

問題18088・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38807422.html#38807422 より Orz〜

　∠A＝90ﾟ ，AB＝1 である直角三角形ABCの 辺BCの延長上に CD＝1 となるように 点Dをとれば

　∠CAD＝30ﾟ になるとき、BC＝？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38817750.html より Orz〜

[解答1] 三角比を使って

　BC：CD＝△ABC：△ACD＝(1/2)AB･AC：(1/2)AC･ADsin30ﾟ＝2AB：AD 、

　BC＝x とおけば、x：1＝2：AD だから、AD＝2/x です。

　△ABDで余弦定理より、BD²＝AB²＋AD²−2AB･ADcos120ﾟ 、

　(x＋1)²＝1＋4/x²＋2/x 、x²＋2x＝4/x²＋2/x 、x(x＋2)＝2(x＋2)/x² 、x＝2/x² 、x³＝2 、

　x＝³√2＝1．2599…… です。


[解答2] 座標を使って

　正の数c，dを用いて、xy平面上で、A(0，0)，B(1，0)，C(0，c)，D(−d，d√3) とします。

　CB，DBの傾きは等しいので、−c＝−(d√3)/(1＋d) 、c＋cd＝d√3 になり、

　d√3−c＝cd であり d(√3−c)＝c です。

　次に、CD²＝1 だから d²＋(d√3−c)²＝1 、d²＋(cd)²＝1 、(c²＋1)d²＝1 、

　(c²＋1)d²(√3−c)²＝(√3−c)² 、(c²＋1)c²＝(√3−c)² 、c⁴＋(2√3)c−3＝0 、

　(c＋√3)(c³−c²√3＋3c−√3)＝0 、c³−c²√3＋3c−√3＝0 、c(c²＋3)＝(c²＋1)√3 、

　ここで、BC²＝c²＋1 だから、c(BC²＋2)＝BC²√3 、

　２乗して、(BC²−1)(BC⁴＋4BC²＋4)＝3BC⁴ 、BC⁶＝4 、BC＝³√2＝1．2599…… です。


[解答3]

　辺BAの延長上に CA//DE となるように 点Eをとり、BC＝x ，AE＝y とすれば DE＝y√3 です。

　BA：AE＝BC：CD より、1：y＝x：1 、xy＝1 になります。

　直角三角形EBDにおいて 三平方の定理より、BD²＝BE²＋ED² 、(x＋1)²＝(y＋1)²＋(y√3)² 、

　x²＋2x＋1＝y²＋2y＋1＋3y² 、x²＋2x＝4y²＋2y 、x(x＋2)＝2y(2y＋1) 、x³(x＋2)＝2xy(2xy＋x) 、

　x³(x＋2)＝2(2＋x) 、x³＝2 、x＝³√2＝1．2599…… です。

*これは気づけず ^^;

but...綺麗な数値になるのねぇ☆

なんだか面倒な式からPCにお願いしました...^^;;

AD=x,BC=y
2つくっつけて、二等辺三角形を作り...
ピタゴラスと余弦定理で...
(x+1/2)^2+3/4=(1+y)^2,
y^2-1+x^2-x√(3(y^2-1))=1
をPCにお願いしました ^^;
x=2^(2/3), y=2^(1/3)
so...
BC=2^(1/3) 

[スモークマン]

↑
やどかりさんの解答がアップされました♪