18174：球面上の7点のうちいずれかの4点が同時に見える確率は？...^^

問題18174(アナロジー問)

(1) 球面上の2点が同時に見える確率は？

(2) 球面上の4点が同時に見える確率は？

(3) 球面上の7点のうち4点が同時に見える確率は？

解答

・わたしの...

(1) 2点の場合は、2点を通る大円上にあ流ので見える。

(2) 3点の場合は、任意の2点でできる大円上か、大円で区切られた球面のどちらかにあるので100％見える。

4点の場合、その区切られた大円の同じ側にないと同時に見えないので

(1/2)=50%

一般に、n>=3個の点が同時に見える確率は...(1/2)^(n-3)

(3) 残り3点は、前問から100%見える位置があるので、

7-3=4点も100%見える位置がありますね ^^

↑

(2)は間違ってました ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(1),(3)は問題なく100％ですが，(2)の確率は50％よりも大きいはずです．

「球面上に無作為に3点をとるとき，その3点を含む半球が存在する」
は正しいですが，そのような半球は1つではなく，
第4点は，どれか1つの半球に属すればよいので，
存在し得る領域の面積は，1つの半球の面積よりは大きくなりますね．

なお，「半球(境界線上を含む)に属する点は同時に見ることができる」という
前提で，4点が同時に見えることを保証するには，5点あれば十分です．
5点中の2点を選び，その2点を通る大円で球面を2分割すると，
どちらかの半球が，必ず，残る3点のうち2点を含みますね． 

*合点です ^^;v

[スモークマン]

＞10:38pmの鍵コメT様へ ^^
そっか...^^;
4点の場合は...
1-(1/2)^3=7/8以上になると言えますかいねぇ...?
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v